Problema 97

Sea f:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R la función dada por f(x)=ax^3+bx^2+cx+d. Halla los coeficientes a, b, c y d sabiendo que f presenta un extremo local en el punto de abscisa x=0, que (1,0) es punto de inflexión de la gráfica de f y que la pendiente de la recta tangente en dicho punto es -3.


Solución:

  • Que en x=0 haya un extremo local significa que f'(0)=0.
  • Que en (1,0) haya un punto de inflexión significa 2 cosas:
    • f(1)=0
    • f''(1)=0
  • Que la pendiente de la recta tangente en (1,0) sea -3 significa que f'(1)=-3

Con estas cuatro ecuaciones formamos un sistema para obtener las cuatro incógnitas a, b, c y d.

\begin{array}{lcl}f(x)=ax^3+bx^2+cx+d&\longrightarrow &f(1)=a+b+c+d=0\\f'(x)=3ax^2+2bx+c&\longrightarrow &\left\{\begin{array}{l}f'(0)=c=0\\f'(1)=3a+2b+c=-3\end{array}\right.\\f''(x)=6ax+2b&\longrightarrow &f''(1)=6a+2b=0\end{array}

De la segunda ecuación se obtiene c=0. De la cuarta b=-3a. Sustituyendo estos dos resultados en la tercera ecuación se obtiene

3a+2(-3a)=-3\\\\3a-6a=-3\\\\-3a=-3\\\\\mathbf{a=1}

y por tanto b=-3.

Sustituyendo en la primera ecuación:

1-3+d=0\\\\\mathbf{d=2}

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