Problema 98

Calcula el valor de a>1 sabiendo que el área del recinto comprendido entra la parábola y=-x^2+ax y la recta y=x es 4/3.


Solución:

En primer lugar calculamos los puntos en los que se cortan ambas funciones. Para ello, igualamos ambas funciones y resolvemos:

-x^2+ax=x\\\\x^2-ax=-x\\\\x^2+(1-a)x=0\\\\x(x+(1-a))=0

Ecuación cuyas soluciones son x=0 y x=a-1. Estos son los límites de integración que utilizaremos para calcular el área. Además, como la parábola es cóncava, en el intervalo (0,a-1) se cumple que –x²+a>x.

\displaystyle \int_0^{a-1}-x^2+ax-x~dx=\int_0^{a-1}-x^2+(a-1)x~dx=\left[\frac{-x^3}3+\frac{(a-1)x^2}2\right]_0^{a-1}=\\\\=\left(\frac{-(a-1)^3}3+\frac{(a-1)^3}2\right)-(0)=\frac{-2(a-1)^3+3(a-1)^3}6=\frac{(a-1)^3}6

Igualamos esta integral a 4/3 y resolvemos:

\displaystyle \frac{(a-1)^3}6=\frac 43\\\\(a-1)^3=8\\\\a-1=2\\\\\mathbf{a=3}

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