Considera el sistema dado por AX=B.

a) Determina, si existen, los valores de α para que el sistema tiene solución única.

b) Determina, si existen, los valores de α para los que el sistema no tiene solución.

c) Determina, si existen, los valores de α para los que el sistema tiene al menos dos soluciones. Halla todas las soluciones en dichos casos.

Solución:

a) Utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius para discutir el tipo de sistema de ecuaciones. Calculamos en primer lugar el rango de la matriz de coeficientes A:

Determinante cuyas raíces son α=3 y α=5. El rango tanto de la matriz de coeficientes como de la matriz ampliada es 3 si este determinante es distinto de 0. Por tanto, el sistema es compatible determinado para α≠3 y α≠5.

b) Si existe algún α para el cual el sistema sea incompatible será para α=3 o α=5. Veamos para cual:

• Caso α=3. En este caso el rango de A es 2 ya que . Veamos cual es el rango de la matriz ampliada:

Por tanto, el rango de la matriz ampliada también es 2, y para α=3 el sistema es compatible indeterminado.

• Caso α=5. En este caso el rango de A también es 2 ya que . Calculamos ahora el rango de la matriz ampliada:

Luego el rango de la matriz ampliada es 3 y el sistema es incompatible. La solución a este apartado es α=5.

c) El caso en el que el sistema tiene más de una solución es, como vimos en el apartado b), el caso α=3. Para resolver el sistema hacemos el cambio x=λ. Resolvemos el sistema resultante:

Resolvemos el sistema por Cramer:

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