Problema 99

Considera el sistema dado por AX=B.

A=\begin{pmatrix}\alpha&2&-1\\0&1&2\\3&4&\alpha\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}1\\\alpha-2\\3\end{pmatrix}\qquad X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}

a) Determina, si existen, los valores de α para que el sistema tiene solución única.

b) Determina, si existen, los valores de α para los que el sistema no tiene solución.

c) Determina, si existen, los valores de α para los que el sistema tiene al menos dos soluciones. Halla todas las soluciones en dichos casos.


Solución:

a) Utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius para discutir el tipo de sistema de ecuaciones. Calculamos en primer lugar el rango de la matriz de coeficientes A:

\begin{vmatrix}\alpha&2&-1\\0&1&2\\3&4&\alpha\end{vmatrix}=\alpha^2+12+3-8\alpha=\alpha^2-8\alpha+15

Determinante cuyas raíces son α=3 y α=5. El rango tanto de la matriz de coeficientes como de la matriz ampliada es 3 si este determinante es distinto de 0. Por tanto, el sistema es compatible determinado para α≠3 y α≠5.


b) Si existe algún α para el cual el sistema sea incompatible será para α=3 o α=5. Veamos para cual:

  • Caso α=3. En este caso el rango de A es 2 ya que \begin{vmatrix}2&-1\\1&2\end{vmatrix}=5. Veamos cual es el rango de la matriz ampliada:

\begin{vmatrix}2&-1&1\\1&2&1\\4&3&3\end{vmatrix}=12-4+3-8+3-6=0

Por tanto, el rango de la matriz ampliada también es 2, y para α=3 el sistema es compatible indeterminado.

  • Caso α=5. En este caso el rango de A también es 2 ya que \begin{vmatrix}2&-1\\1&2\end{vmatrix}=5. Calculamos ahora el rango de la matriz ampliada:

\begin{vmatrix}2&-1&1\\1&2&3\\4&5&3\end{vmatrix}=12-12+5-8+3-30=-30

Luego el rango de la matriz ampliada es 3 y el sistema es incompatible. La solución a este apartado es α=5.


c) El caso en el que el sistema tiene más de una solución es, como vimos en el apartado b), el caso α=3. Para resolver el sistema hacemos el cambio x=λ. Resolvemos el sistema resultante:

\left\{\begin{array}{l}3x+2y-z=1\\y+2z=1\end{array}\right.\longrightarrow\left\{\begin{array}{l}2y-z=1-3\lambda\\y+2z=1\end{array}\right.

Resolvemos el sistema por Cramer:

x=\lambda

\displaystyle y=\frac{\begin{vmatrix}1-3\lambda&-1\\1&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&-1\\1&2\end{vmatrix}}=\frac{2-6\lambda+1}{5}=\frac{3-6\lambda}5

\displaystyle z=\frac{\begin{vmatrix}2&1-3\lambda\\1&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&-1\\1&2\end{vmatrix}}=\frac{2-1+3\lambda}5=\frac{1+3\lambda}5

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