Problema 105

Halla los valores a, b y c sabiendo que la gráfica de la función \displaystyle f(x)=\frac{ax^2+b}{x+c} tiene una asíntota vertical en x=1, una asíntota oblicua de pendiente 2, y un extremo local en el punto de abscisa x=3.


Solución:

Si existe una asíntota vertical en x=1 es porque esta función no está definida en x=1. Como el dominio de esta función es \mathbb R\smallsetminus\{-c\}, significa que –c=1 y por tanto c=-1.

La pendiente de la asíntota oblicua es \displaystyle m=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)}x. Por tanto:

\displaystyle 2=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)}x=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{ax^2+b}{x(x+c)}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{ax^2+b}{x^2+cx}=a

de donde a=2.

Que haya un extremo local en x=3 significa que f'(3)=0, por tanto:

\displaystyle f'(x)=\frac{2ax(x+c)-(ax^2+b)}{(x+c)^2}=\frac{2ax^2+2acx-ax^2-b}{(x+c)^2}

Sustituyendo los valores ya conocidos de a y c:

\displaystyle f'(x)=\frac{4x^2-4x-2x^2-b}{(x-1)^2}=\frac{2x^2-4x-b}{(x-1)^2}\\\\f'(3)=\frac{6-b}4=0

de donde b=6.

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