Problema 106

Calcula \displaystyle\int_0^\pi x^2\,\mbox{sen}(x)~dx.


Solución:

Primero resolvemos la integral indefinida utilizando el método de integración por partes:

\begin{array}{lll}u=x^2&\longrightarrow&du=2x~dx\\dv=\mbox{sen}(x)~dx&\longrightarrow&v=-\cos(x)\end{array}

\displaystyle\int x^2\,\mbox{sen}(x)~dx=-x^2\cos(x)-\int-2x\cos(x)~dx=-x^2\cos(x)+\int2x\cos(x)~dx

Esta última integral también la resolvemos por partes:

\begin{array}{lll}u=2x&\longrightarrow&du=2~dx\\dv=\cos(x)~dx&\longrightarrow&v=\mbox{sen}(x)\end{array}

\displaystyle -x^2\cos(x)+\int2x\cos(x)~dx=-x^2\cos(x)+2x\,\mbox{sen}(x)-\int 2\,\mbox{sen}(x)~dx=\\\\=-x^2\cos(x)+2x\,\mbox{sen}(x)+2\cos(x)+k

Por tanto:

\displaystyle\int_0^\pi x^2\,\mbox{sen}(x)~dx=\left[-x^2\cos(x)+2x\,\mbox{sen}(x)+2\cos(x)+k\right]_0^\pi=\\\\=(\pi^2-2+k)-(2+k)=\pi^2-4

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