Problema 107

Considera las siguientes matrices:

A=\begin{pmatrix}-1&2\\2&-1\end{pmatrix},~B=\begin{pmatrix}1&0&0\\-2&1&0\\3&2&1\end{pmatrix}\quad\mbox{y}\quad C=\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&5&0\end{pmatrix}.

a) Determina la matriz X para la que A^tXB^{-1}=C, (A^t es la traspuesta de A).

b) Calcula el determinante de B^{-1}(C^tC)B.


Solución:

a) Despejamos en primer lugar la matriz X:

A^tXB^{-1}=C\\A^tX=CB\\X=(A^t)^{-1}CB

A^t=\begin{pmatrix}-1&2\\2&-1\end{pmatrix}=A

Luego X=A^{-1}CB donde \displaystyle\boxed{A^{-1}=\frac 1{|A|}(\mbox{Adj }A)^t}

|A|=\begin{vmatrix}-1&2\\2&-1\end{vmatrix}=1-4=-3

\mbox{Adj }A=\begin{pmatrix}-1&-2\\-2&-1\end{pmatrix}

\displaystyle A^{-1}=\frac 1{-3}\begin{pmatrix}-1&-2\\-2&-1\end{pmatrix}

\displaystyle X=\frac 1{-3}\begin{pmatrix}-1&-2\\-2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&5&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\-2&1&0\\3&2&1\end{pmatrix}=\\\\=\frac 1{-3}\begin{pmatrix}-1&-2\\-2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\-11&5&0\end{pmatrix}=\frac 1{-3}\begin{pmatrix}21&-10&0\\9&-5&0\end{pmatrix}


b) Para calcular el determinante de B^{-1}(C^tC)B utilizamos las propiedades de los determinantes:

\displaystyle|B^{-1}(C^tC)B|\overset{P.3}=|B^{-1}||C^tC||B|\overset{P.4}=\frac 1{|B|}|C^tC||B|=|C^tC|

C^tC=\begin{pmatrix}1&-1\\0&5\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&5&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-5&0\\-5&25&0\\0&0&0\end{pmatrix}

\displaystyle|B^{-1}(C^tC)B|=|C^tC|=\begin{vmatrix}2&-5&0\\-5&25&0\\0&0&0\end{vmatrix}=0

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