Problema 107

Considera las siguientes matrices:

$A=\begin{pmatrix}-1&2\\2&-1\end{pmatrix},~B=\begin{pmatrix}1&0&0\\-2&1&0\\3&2&1\end{pmatrix}\quad\mbox{y}\quad C=\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&5&0\end{pmatrix}.$

a) Determina la matriz X para la que $A^tXB^{-1}=C$ , ( $A^t$ es la traspuesta de $A$ ).

b) Calcula el determinante de $B^{-1}(C^tC)B$ .

Solución:

a) Despejamos en primer lugar la matriz X:

$A^tXB^{-1}=C\\A^tX=CB\\X=(A^t)^{-1}CB$

$A^t=\begin{pmatrix}-1&2\\2&-1\end{pmatrix}=A$

Luego $X=A^{-1}CB$ donde $\displaystyle\boxed{A^{-1}=\frac 1{|A|}(\mbox{Adj }A)^t}$

$|A|=\begin{vmatrix}-1&2\\2&-1\end{vmatrix}=1-4=-3$

$\mbox{Adj }A=\begin{pmatrix}-1&-2\\-2&-1\end{pmatrix}$

$\displaystyle A^{-1}=\frac 1{-3}\begin{pmatrix}-1&-2\\-2&-1\end{pmatrix}$

$\displaystyle X=\frac 1{-3}\begin{pmatrix}-1&-2\\-2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&5&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\-2&1&0\\3&2&1\end{pmatrix}=\\\\=\frac 1{-3}\begin{pmatrix}-1&-2\\-2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\-11&5&0\end{pmatrix}=\frac 1{-3}\begin{pmatrix}21&-10&0\\9&-5&0\end{pmatrix}$