Sea r la recta definida por y s la recta dada por
a) Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a las rectas dadas.
b) Calcula la distancia entre r y s.
Solución:
a) La recta t que corta perpendicularmente a las rectas r y s es la llamada recta perpendicular común. Calculamos en primer lugar el vector director de dicha recta que ha de ser perpendicular a y a
:
Necesitamos los vectores directores de r y s. El vector director de r es fácil de obtener porque tenemos las ecuaciones paramétricas de r: . Para obtener el vector director de s primero escribimos dicha recta en forma paramétrica, y para ello hacemos el cambio y=λ:
Por tanto, el vector director de s es:
Ahora construimos un plano que contenga a r y sea paralelo a t, y otro plano
que contenga a s y sea paralelo a t:
La recta t es la intersección de ambos planos:
b) Como r y s no son rectas paralelas, la distancia entre ambas la calculamos con la fórmula:
donde es el vector que une dos puntos cualesquiera de r y s:
y
.
como vimos antes.
Luego:
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