Problema 108

Sea r la recta definida por \left\{\begin{array}{l}x=1\\y=1\\z=\lambda-2\end{array}\right. y s la recta dada por \left\{\begin{array}{l}x-y=1\\z=-1\end{array}\right.

a) Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a las rectas dadas.

b) Calcula la distancia entre r y s.


Solución:

a) La recta t que corta perpendicularmente a las rectas r y s es la llamada recta perpendicular común. Calculamos en primer lugar el vector director de dicha recta que ha de ser perpendicular a \vec v_r y a \vec v_s:

\vec v_t=\vec v_r\times\vec v_s

Necesitamos los vectores directores de r y s. El vector director de r es fácil de obtener porque tenemos las ecuaciones paramétricas de r: \vec v_r=(0,0,1). Para obtener el vector director de s primero escribimos dicha recta en forma paramétrica, y para ello hacemos el cambio y=λ:

s:~\left\{\begin{array}{l}x=1+\lambda\\y=\lambda\\z=-1\end{array}\right.

Por tanto, el vector director de s es: \vec v_s=(1,1,0)

\vec v_t=\vec v_r\times\vec v_s=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\0&0&1\\1&1&0\end{vmatrix}=\vec\jmath-\vec\imath=(-1,1,0)

Ahora construimos un plano \pi_r que contenga a r y sea paralelo a t, y otro plano \pi_s que contenga a s y sea paralelo a t:

\pi_r:~\begin{vmatrix}x-1&y-1&z+2\\0&0&1\\-1&1&0\end{vmatrix}=-y+1-x+1=-x-y+2=0\\\\\pi_s:~\begin{vmatrix}x-1&y&z+1\\1&1&0\\-1&1&0\end{vmatrix}=z+1+z+1=2z+2=0

La recta t es la intersección de ambos planos:

t:~\left\{\begin{array}{l}x+y-2=0\\z+1=0\end{array}\right.


b) Como r y s no son rectas paralelas, la distancia entre ambas la calculamos con la fórmula:

\displaystyle\boxed{d(r,s)=\frac{|[\vec v_r,\vec v_s,\overrightarrow{P_rP_s}]|}{|\vec v_r\times\vec v_s|}}

donde \overrightarrow{P_rP_s} es el vector que une dos puntos cualesquiera de r y s: P_r(1,1,-2) y P_s(1,0,-1).

\overrightarrow{P_rP_s}=(1,0,-1)-(1,1,-2)=(0,-1,1)

[\vec v_r,\vec v_s,\overrightarrow{P_rP_s}]=\begin{vmatrix}0&0&1\\1&1&0\\0&-1&1\end{vmatrix}=-1

\vec v_r\times\vec v_s=(-1,1,0) como vimos antes.

Luego:

\displaystyle d(r,s)=\frac{|-1|}{\sqrt{(-1)^2+1^2+0^2}}=\frac 1{\sqrt 2}=\frac{\sqrt 2}2\mbox{ u.l.}

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