Problema 108

Sea r la recta definida por $\left\{\begin{array}{l}x=1\\y=1\\z=\lambda-2\end{array}\right.$ y s la recta dada por $\left\{\begin{array}{l}x-y=1\\z=-1\end{array}\right.$

a) Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a las rectas dadas.

b) Calcula la distancia entre r y s.

Solución:

a) La recta t que corta perpendicularmente a las rectas r y s es la llamada recta perpendicular común. Calculamos en primer lugar el vector director de dicha recta que ha de ser perpendicular a $\vec v_r$ y a $\vec v_s$ :

$\vec v_t=\vec v_r\times\vec v_s$

Necesitamos los vectores directores de r y s. El vector director de r es fácil de obtener porque tenemos las ecuaciones paramétricas de r: $\vec v_r=(0,0,1)$ . Para obtener el vector director de s primero escribimos dicha recta en forma paramétrica, y para ello hacemos el cambio y=λ:

$s:~\left\{\begin{array}{l}x=1+\lambda\\y=\lambda\\z=-1\end{array}\right.$

Por tanto, el vector director de s es: $\vec v_s=(1,1,0)$

$\vec v_t=\vec v_r\times\vec v_s=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\0&0&1\\1&1&0\end{vmatrix}=\vec\jmath-\vec\imath=(-1,1,0)$

Ahora construimos un plano $\pi_r$ que contenga a r y sea paralelo a t, y otro plano $\pi_s$ que contenga a s y sea paralelo a t:

$\pi_r:~\begin{vmatrix}x-1&y-1&z+2\\0&0&1\\-1&1&0\end{vmatrix}=-y+1-x+1=-x-y+2=0\\\\\pi_s:~\begin{vmatrix}x-1&y&z+1\\1&1&0\\-1&1&0\end{vmatrix}=z+1+z+1=2z+2=0$