Problema 109

Un granjero desea vallar un terreno rectangular de pasto adyacente a un río. El terreno debe tener 180 000 m² para producir suficiente pasto para su ganado. ¿Qué dimensiones tendrá el terreno rectangular de modo que utilice la mínima cantidad de valla, si el lado del río no necesita vallado?


Solución:

p109Nos piden optimizar la cantidad de valla utilizada para delimitar el terreno. El perímetro del rectángulo es 2x+2y, pero dicen que uno de los lados es adyacente al rio y por tanto, no necesita vallarse. Supongamos que dicho lado adyacente al rio es el de arriba. La función perímetro a optimizar es:

p(x,y)=x+2y

Para eliminar una de las variables de la función perímetro utilizamos el dato del área:

A=180000=x\cdot y

de donde \displaystyle y=\frac{180000}x y por tanto, la función perímetro es:

\displaystyle p(x)=x+2\frac{180000}x=\frac{x^2+360000}x

Calculamos los puntos críticos:

\displaystyle p'(x)=\frac{2x\cdot x-(x^2+360000)}{x^2}=\frac{x^2-360000}{x^2}=0\\\\x^2-360000=0\\\\x^2=360000\\\\x=\pm600

La solución negativa se descarta, por tanto, \displaystyle x=600\mbox{ m e }y=\frac{180000}{600}=300\mbox{ m.}

Más problemas de optimización.

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