Sea 
a) Haz un esbozo de la gráfica de f.
b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y la recta y=5.
Solución:
a) Primero escribimos la función valor absoluto como una función a trozos:
Ambos trozos son parábolas que cortan al eje x en:
La función es
![f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x^2-4&\mbox{si}&x\in(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)\\-x^2+4&\mbox{si}&x\in(-2,2)\end{array}\right.](https://s0.wp.com/latex.php?latex=f%28x%29%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Dx%5E2-4%26%5Cmbox%7Bsi%7D%26x%5Cin%28-%5Cinfty%2C-2%5D%5Ccup%5B2%2C%2B%5Cinfty%29%5C%5C-x%5E2%2B4%26%5Cmbox%7Bsi%7D%26x%5Cin%28-2%2C2%29%5Cend%7Barray%7D%5Cright.&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x^2-4&\mbox{si}&x\in(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)\\-x^2+4&\mbox{si}&x\in(-2,2)\end{array}\right.")
Es una parábola convexa que corta al eje x en (-2,0) y (2,0) pero en el intervalo (-2,2) se vuelve cóncava alcanzando un máximo en el punto (0,4).
b) La recta y=5 es una recta horizontal que pasa por (0,5). Esta recta con la función anterior forma encierra el siguiente recinto:
Primero calculamos los puntos donde la recta corta a la parábola:
El área comprendida en el intervalo [-3,3] es el doble del comprendido en el intervalo [0,3] porque ambas funciones tienen simetría par, así que el área S es:
![\displaystyle S=2\int_0^25-(-x^2+4)~dx+2\int_2^35-(x^2-4)~dx=\\\\=2\int_0^21+x^2~dx+2\int_2^39-x^2~dx=2\left[x+\frac{x^3}3\right]_0^2+2\left[9x-\frac{x^3}3\right]_2^3=\\\\=2\left(2+\frac 83\right)+2\left(27-\frac{27}3-18+\frac 83\right)=\\\\=4+\frac{16}3+\frac{16}3=\frac{44}3\mbox{ u.a.}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+S%3D2%5Cint_0%5E25-%28-x%5E2%2B4%29%7Edx%2B2%5Cint_2%5E35-%28x%5E2-4%29%7Edx%3D%5C%5C%5C%5C%3D2%5Cint_0%5E21%2Bx%5E2%7Edx%2B2%5Cint_2%5E39-x%5E2%7Edx%3D2%5Cleft%5Bx%2B%5Cfrac%7Bx%5E3%7D3%5Cright%5D_0%5E2%2B2%5Cleft%5B9x-%5Cfrac%7Bx%5E3%7D3%5Cright%5D_2%5E3%3D%5C%5C%5C%5C%3D2%5Cleft%282%2B%5Cfrac+83%5Cright%29%2B2%5Cleft%2827-%5Cfrac%7B27%7D3-18%2B%5Cfrac+83%5Cright%29%3D%5C%5C%5C%5C%3D4%2B%5Cfrac%7B16%7D3%2B%5Cfrac%7B16%7D3%3D%5Cfrac%7B44%7D3%5Cmbox%7B+u.a.%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "\displaystyle S=2\int_0^25-(-x^2+4)~dx+2\int_2^35-(x^2-4)~dx=\\\\=2\int_0^21+x^2~dx+2\int_2^39-x^2~dx=2\left[x+\frac{x^3}3\right]_0^2+2\left[9x-\frac{x^3}3\right]_2^3=\\\\=2\left(2+\frac 83\right)+2\left(27-\frac{27}3-18+\frac 83\right)=\\\\=4+\frac{16}3+\frac{16}3=\frac{44}3\mbox{ u.a.}")
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