Problema 110

Sea f:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R la función definida por f(x)=|x^2-4|.

a) Haz un esbozo de la gráfica de f.

b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y la recta y=5.


Solución:

a) Primero escribimos la función valor absoluto como una función a trozos:

f(x)=|x^2-4|=\left\{\begin{array}{ccc}x^2-4&\mbox{si}&x^2-4\geq0\\-x^2+4&\mbox{si}&x^2-4<0\end{array}\right.

Ambos trozos son parábolas que cortan al eje x en:

x^2-4=0\\\\x^2=4\\\\x=\pm2

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline &(-\infty,-2)&(-2,2)&(2,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }x^2-4&+&-&+\\\hline\end{array}

La función es

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x^2-4&\mbox{si}&x\in(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)\\-x^2+4&\mbox{si}&x\in(-2,2)\end{array}\right.

Es una parábola convexa que corta al eje x en (-2,0) y (2,0) pero en el intervalo (-2,2) se vuelve cóncava alcanzando un máximo en el punto (0,4).

p110a


b) La recta y=5 es una recta horizontal que pasa por (0,5). Esta recta con la función anterior forma encierra el siguiente recinto:

p110b

Primero calculamos los puntos donde la recta corta a la parábola:

5=x^2-4\\\\x^2=9\\\\x=\pm3

El área comprendida en el intervalo [-3,3] es el doble del comprendido en el intervalo [0,3] porque ambas funciones tienen simetría par, así que el área S es:

\displaystyle S=2\int_0^25-(-x^2+4)~dx+2\int_2^35-(x^2-4)~dx=\\\\=2\int_0^21+x^2~dx+2\int_2^39-x^2~dx=2\left[x+\frac{x^3}3\right]_0^2+2\left[9x-\frac{x^3}3\right]_2^3=\\\\=2\left(2+\frac 83\right)+2\left(27-\frac{27}3-18+\frac 83\right)=\\\\=4+\frac{16}3+\frac{16}3=\frac{44}3\mbox{ u.a.}

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