Problema 111

Considera el siguiente sistema de ecuaciones

\left\{\begin{array}{ccc}2x+y+(\alpha-1)z&=&\alpha-1\\x-\alpha y-3z&=&1\\x+y+2z&=&2\alpha-2\end{array}\right.

a) Resuelve el sistema para α=1.

b) Determina, si existe, el valor de α para el que (x,y,z)=(1,-3,\alpha) es la única solución del sistema dado.


Solución:

a) Para α=1, las matrices de coeficientes y ampliada son las siguientes:

M=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&-1&-3\\1&1&2\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}2&1&0&0\\1&-1&-3&1\\1&1&2&0\end{pmatrix}

El rango de la matriz de coeficientes es 3 ya que

\begin{vmatrix}2&1&0\\1&-1&-3\\1&1&2\end{vmatrix}=-4-3-2+6=-3

Como el rango de la ampliada ha de ser también 3 y es igual al número de incógnitas, según el teorema de Rouché-Fröbenius el sistema es compatible determinado.

Calculamos la solución del sistema utilizando la regla de Cramer:

\displaystyle x=\frac{\begin{vmatrix}0&1&0\\1&-1&-3\\0&1&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&1&0\\1&-1&-3\\1&1&2\end{vmatrix}}=\frac{-2}{-3}=\frac 23

\displaystyle y=\frac{\begin{vmatrix}2&0&0\\1&1&-3\\1&0&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&1&0\\1&-1&-3\\1&1&2\end{vmatrix}}=\frac{4}{-3}=\frac{-4}3

\displaystyle z=\frac{\begin{vmatrix}2&1&0\\1&-1&1\\1&1&0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&1&0\\1&-1&-3\\1&1&2\end{vmatrix}}=\frac{1-2}{-3}=\frac 13


b) Resolvemos el sistema en función de α utilizando la regla de Cramer para que (x,y,z)=(1,-3,\alpha):

\displaystyle x=\frac{\begin{vmatrix}\alpha-1&1&\alpha-1\\1&-\alpha&-3\\2\alpha-2&1&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&1&\alpha-1\\1&-\alpha&-3\\1&1&2\end{vmatrix}}=\frac{2\alpha(\alpha^2-3\alpha+1)}{\alpha(\alpha-4)}=\frac{2\alpha^2-6\alpha+2}{\alpha-4}

Como x=1 entonces

\displaystyle \frac{2\alpha^2-6\alpha+2}{\alpha-4}=1\\\\2\alpha^2-6\alpha+2=\alpha-4\\\\2\alpha^2-7\alpha+6=0

ecuación de segundo grado cuyas soluciones son α=3/2 y α=2. Calcularemos y para discriminar alguna de las soluciones anteriores.

\displaystyle y=\frac{\begin{vmatrix}2&\alpha-1&\alpha-1\\1&1&-3\\1&2\alpha-2&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&1&\alpha-1\\1&-\alpha&-3\\1&1&2\end{vmatrix}}=\frac{2\alpha(\alpha+1)}{\alpha(\alpha-4)}=\frac{2\alpha+2}{\alpha-4}

Igualamos este resultado a -3:

\displaystyle \frac{2\alpha+2}{\alpha-4}=-3\\\\2\alpha+2=-3\alpha+12\\\\5\alpha=10\\\\\alpha=2

Luego el valor buscado es α=2 y la solución es (x,y,z)=(1,-3,2).

Deja un comentario