Problema 112

Considera el plano π de ecuación mx+5y+2z=0 y la recta r dada por

\displaystyle \frac{x+1}3=\frac yn=\frac{z-1}2

a) Calcula m y n en el caso en el que la recta r es perpendicular al plano π.

b) Calcula m y n en el caso en el que la recta r está contenida en el plano π.


Solución:

a) Si la recta r es perpendicular al plano π entonces el vector director de la recta \vec v_r es paralelo al vector normal del plano \vec n_\pi.

\displaystyle\vec v_r=(3,n,2)\\\\\vec n_\pi=(m,5,2)\\\\\vec v_r\|\vec n_\pi\longleftrightarrow\frac 3m=\frac n5=\frac 22\\\\\frac 3m=\frac 22=1\longrightarrow \mathbf{m=3}\\\\\frac n5=1\longrightarrow\mathbf{n=5}


b) Si la recta r está contenida en el plano π deben cumplirse dos cosas:

  • La recta tiene que ser paralela al plano, o lo que es lo mismo, perpendicular al vector normal del plano:

\vec v_r\bot\vec n_\pi\longleftrightarrow\vec v_r\cdot\vec n_\pi=0

\vec v_r\cdot\vec n_\pi=(3,n,2)\cdot(m,5,2)=3m+5n+4=0

  • Todos los puntos de la recta r deben pertenecer al plano π, en concreto uno cualquiera como por ejemplo P_r=(-1,0,1)

m(-1)+5\cdot 0+2\cdot 1=-m+2=0

Se tiene así un sistema de ecuaciones con dos incógnitas:

\left\{\begin{array}{l}3m+5n+4=0\\-m+2=0\end{array}\right.

cuya solución es m=2 y n=-2.

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s