Problema 113

Se quiere construir un depósito abierto de base cuadrada y paredes verticales con capacidad para 13.5 metros cúbicos. Para ello se dispone de una chapa de acero de grosor uniforme. Calcula las dimensiones del depósito para que el gasto en chapa sea el mínimo posible.


Solución:

El depósito tiene forma de prisma de base cuadrada. Nos piden optimizar el gasto en chapa o lo que es lo mismo, optimizar el área S del prisma cuadrangular.p113

Dicho área es S(x,H)=S_{base}+S_{lateral}=x^2+4x\cdot H.

Primero reducimos una de las variables utilizando la restricción del volumen del prisma:

\displaystyle V=x^2\cdot H=13.5\\\\H=\frac{13.5}{x^2}

Sustituimos en la función superficie:

\displaystyle S(x)=x^2+4x\cdot\frac{13.5}{x^2}=x^2+\frac{54}x

Derivamos y obtenemos los puntos críticos:

\displaystyle S'(x)=2x-\frac{54}{x^2}=0\\\\2x=\frac{54}{x^2}\\\\2x^3=54\\\\x^3=27\\\\x=\sqrt[3]{27}=3

Veamos si este punto crítico es un máximo o un mínimo. Para ello utilizamos el test de la derivada segunda:

\displaystyle S''(x)=2+\frac{54\cdot 2x}{x^4}\\\\S''(3)=6>0

por tanto, S alcanza un mínimo en x=3 m.

Nos queda solo calcular la altura H del depósito:

\displaystyle H=\frac{13.5}{3^2}=1.5\mbox{ m}.

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