Problema 114

Calcula \displaystyle\int\frac{-x^2}{x^2+x-2}~dx.


Solución:

La integral es de tipo racional. Como el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador, se transforma la fracción en su forma cociente resto:

\displaystyle\int\frac{-x^2}{x^2+x-2}~dx=\int-1~dx+\int\frac{x-2}{x^2+x-2}~dx

La segunda integral es racional y el denominador tiene raíces reales:

x^2+x-2=0\longrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=1\\x=-2\end{array}\right.

Hacemos la siguiente descomposición:

\displaystyle\frac{x-2}{x^2+x-2}=\frac A{x-1}+\frac B{x+2}=\frac{A(x+2)+B(x-1)}{(x-1)(x+2)}\\\\x-2=A(x+2)+B(x-1)

Tomando valores arbitrarios para x y sustituyendo en la última ecuación obtenemos los valores de A y B:

  • Si x=1: -1=3A\longrightarrow A=-1/3
  • Si x=-2: -4=-3B\longrightarrow B=4/3

Sustituimos y calculamos la integral:

\displaystyle\int-1~dx+\int\frac{x-2}{x^2+x-2}~dx=-x+\int\frac{-1/3}{x-1}~dx+\int\frac{4/3}{x+2}~dx=\\\\=-x-\frac{\ln|x-1|}3+\frac{4\ln|x+2|}3+k

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