Problema 115

Considera el siguiente sistema de ecuaciones

\left\{\begin{array}{ll}\lambda x+y-z&=-1\\\lambda x+\lambda z&=\lambda\\x+y-\lambda z&=0\end{array}\right.

a) Discute el sistema según los valores de λ.

b) Resuelve el sistema para λ=0.


Solución:

a) Para resolver el sistema utilizaremos el teorema de Rouché-Fröbenius. Primero calcularemos el rango de la matriz de coeficientes en función del parámetro λ:

M=\begin{pmatrix}\lambda&1&-1\\\lambda&0&\lambda\\1&1&-\lambda\end{pmatrix}

\begin{vmatrix}\lambda&1&-1\\\lambda&0&\lambda\\1&1&-\lambda\end{vmatrix}=\lambda-\lambda+\lambda^2-\lambda^2=0 lo cual significa que el rango de M es menor de 3 para todo valor de λ.

\begin{vmatrix}\lambda&1\\\lambda&0\end{vmatrix}=-\lambda, determinante cuya raíz es λ=0. Por tanto:

  • Caso λ≠0. El rango de M vale 2. Veamos el rango de la matriz ampliada:

\begin{vmatrix}\lambda&1&-1\\\lambda&0&\lambda\\1&1&0\end{vmatrix}=\lambda-\lambda-\lambda^2=-\lambda^2\neq0 ya que λ≠0. El rango de la matriz ampliada es 3 y el sistema incompatible.

  • Caso λ=0. En este caso M=\begin{pmatrix}0&1&-1\\0&0&0\\1&1&0\end{pmatrix} y su rango es 2 ya que \begin{vmatrix}0&1\\1&1\end{vmatrix}=-1\neq0. Veamos ahora el rango de la matriz ampliada:

\begin{vmatrix}0&1&-1\\0&0&0\\1&1&0\end{vmatrix}=0, por tanto, el rango de la matriz ampliada es 2 y el sistema es compatible indeterminado.


b) Para λ=0 el sistema es compatible indeterminado como vimos anteriormente. Por ser el rango de las matrices de coeficientes y ampliada de 2, el sistema es equivalente a este:

\left\{\begin{array}{ll}y-z&=-1\\x+y&=0\end{array}\right.

Haciendo el cambio z=μ resulta la solución del sistema:

y=-1+\mu\\x=1-\mu\\z=\mu

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