Problema 116

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II

Sean los puntos A(0,1,1), B(2,1,3), C(-1,2,0) y D(2,1,m).

a) Calcula m para que A, B, C y D estén en un mismo plano.

b) Determina la ecuación del plano respecto del cual los puntos A y B son simétricos.

c) Calcula el área del triángulo de vértices A, B y C.

Solución:

a) Con los 4 puntos construimos 3 vectores: \overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AC},~\overrightarrow{AD}. Para que los 4 puntos sean coplanarios deberán serlo también los 3 vectores, y para que esto ocurra el producto mixto de esos 3 vectores debe ser 0.

\overrightarrow{AB}=(2,1,3)-(0,1,1)=(2,0,2)\\\\\overrightarrow{AC}=(-1,2,0)-(0,1,1)=(-1,1,-1)\\\\\overrightarrow{AD}=(2,1,m)-(0,1,1)=(2,0,m-1)

[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]=\begin{vmatrix}2&0&2\\-1&1&-1\\2&0&m-1\end{vmatrix}=2(m-1)-4=2m-6=0\\\\2m=6\\\\\mathbf{m=3}

b) Para que los puntos A y B sean simétricos respecto del plano π dicho plano pasará por el punto medio M entre A y B,

\displaystyle M=\frac{A+B}2=\frac{(0,1,1)+(2,1,3)}2=\frac{(2,2,4)}2=(1,1,2)

y además, dicho vector tendrá que ser perpendicular al vector \overrightarrow{AB}, el cual tomaremos como vector normal del plano: \vec n_\pi=(2,0,2). Luego el plano π es 2x+2z+E=0.

Para calcular el valor del coeficiente E imponemos que el plano pasa por el punto M:

2\cdot 1+2\cdot 2+E=0\\\\2+4+E=0\\\\E=-6

y el plano π buscado es:

\pi:~2x+2z-6=0

c) El área S del triángulo formado por los puntos A, B y C es:

\displaystyle S=\frac{|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|}2

\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\2&0&2\\-1&1&-1\end{vmatrix}=-2\vec\jmath+2\vec k+2\vec\jmath-2\vec\imath=(-2,0,2)

|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=\sqrt{(-2)^2+0^2+2^2}=\sqrt 8=2\sqrt 2

\displaystyle S=\frac{2\sqrt 2}2=\sqrt 2\mbox{ u.a.}

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