Sean los puntos A(0,1,1), B(2,1,3), C(-1,2,0) y D(2,1,m).
a) Calcula m para que A, B, C y D estén en un mismo plano.
b) Determina la ecuación del plano respecto del cual los puntos A y B son simétricos.
c) Calcula el área del triángulo de vértices A, B y C.
Solución:
a) Con los 4 puntos construimos 3 vectores: . Para que los 4 puntos sean coplanarios deberán serlo también los 3 vectores, y para que esto ocurra el producto mixto de esos 3 vectores debe ser 0.
b) Para que los puntos A y B sean simétricos respecto del plano π dicho plano pasará por el punto medio M entre A y B,
y además, dicho vector tendrá que ser perpendicular al vector , el cual tomaremos como vector normal del plano:
. Luego el plano π es 2x+2z+E=0.
Para calcular el valor del coeficiente E imponemos que el plano pasa por el punto M:
y el plano π buscado es:
c) El área S del triángulo formado por los puntos A, B y C es:
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