Problema 117

Sabiendo que \displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{ax^2+bx+1-\cos(x)}{\mbox{sen}(x^2)} es finito e igual a uno, calcula los valores de a y b.


Solución:

Calculamos el límite propuesto:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{ax^2+bx+1-\cos(x)}{\mbox{sen}(x^2)}=\frac 00IND

Para resolver esta indeterminación utilizamos la regla de L’Hôpital:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{ax^2+bx+1-\cos(x)}{\mbox{sen}(x^2)}\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{2ax+b+\mbox{sen}(x)}{\cos(x^2)\cdot 2x}=\frac b0

para que el resultado de este límite no sea infinito, ha de ser b=0.

\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{2ax+\mbox{sen}(x)}{\cos(x^2)\cdot 2x}=\frac 00\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{2a+\cos(x)}{-\mbox{sen}(x^2)\cdot 2x\cdot 2x+\cos(x^2)\cdot 2}=\frac{2a+1}2

Como el resultado del límite es 1, ya podemos calcular a:

\displaystyle\frac{2a+1}2=1\\\\2a+1=2\\\\2a=1\\\\\mathbf{a=\frac 12}

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