Problema 117

Sabiendo que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{ax^2+bx+1-\cos(x)}{\mbox{sen}(x^2)}$ es finito e igual a uno, calcula los valores de a y b.

Solución:

Calculamos el límite propuesto:

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{ax^2+bx+1-\cos(x)}{\mbox{sen}(x^2)}=\frac 00IND$

Para resolver esta indeterminación utilizamos la regla de L’Hôpital:

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{ax^2+bx+1-\cos(x)}{\mbox{sen}(x^2)}\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{2ax+b+\mbox{sen}(x)}{\cos(x^2)\cdot 2x}=\frac b0$

para que el resultado de este límite no sea infinito, ha de ser b=0.

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{2ax+\mbox{sen}(x)}{\cos(x^2)\cdot 2x}=\frac 00\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{2a+\cos(x)}{-\mbox{sen}(x^2)\cdot 2x\cdot 2x+\cos(x^2)\cdot 2}=\frac{2a+1}2$