Problema 118

Determina la función f:~(0,+\infty)\rightarrow\mathbb R sabiendo que f''(x)=\ln(x) y que su gráfica tiene tangente horizontal en el punto P(1,2) (ln denota la función logaritmo neperiano).


Solución:

Para obtener f a partir de f´´ tendremos que integrar dos veces:

\displaystyle f'(x)=\int \ln(x)~dx integral que se resuelve integrando por partes:

\begin{matrix}u=\ln(x)&\to&du=\frac 1x~dx\\dv=dx&\to&v=x\end{matrix}

\displaystyle f'(x)=\int \ln(x)~dx=x\ln(x)-\int\frac 1xx~dx=x\ln(x)-\int dx=x\ln(x)-x+k_1

Podemos ya calcular la función f:

\displaystyle f(x)=\int x\ln(x)-x+k_1~dx donde la integral del primer sumando se hace por partes:

\begin{matrix}u=\ln(x)&\to&du=\frac 1x~dx\\dv=x~dx&\to&v=\frac{x^2}2\end{matrix}

\displaystyle f(x)=\int x\ln(x)-x+k_1~dx=\\\\=\frac{x^2}2\ln(x)-\int\frac{x^2}2\frac 1x~dx-\int x~dx+\int k_1~dx=\\\\=\frac{x^2}2\ln(x)-\int\frac x2~dx-\frac{x^2}2+k_1x=\\\\=\frac{x^2}2\ln(x)-\frac{x^2}4-\frac{x^2}2+k_1x+k_2\\\\f(x)=\frac{x^2}2\ln(x)-\frac{3x^2}4+k_1x+k_2

Para calcular las constantes de integración utilizamos los datos aportados. Dice que f tiene tangente horizontal en el punto (1,2), lo cual significa que f(1)=2 y que f'(1)=0.

\displaystyle f'(1)=1\ln(1)-1+k_1=-1+k_1=0\to k_1=1

\displaystyle f(1)=\frac{1^2}2\ln(1)-\frac{3\cdot 1^2}4+1+k_2=-\frac 34+1+k_2=\frac 14+k_2=2\\\\k_2=2-\frac 14\\\\k_2=\frac 74

Luego la función f buscada es:

\displaystyle f(x)=\frac{x^2}2\ln(x)-\frac{3x^2}4+x+\frac 74

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