Problema 118

Determina la función $f:~(0,+\infty)\rightarrow\mathbb R$ sabiendo que $f''(x)=\ln(x)$ y que su gráfica tiene tangente horizontal en el punto P(1,2) (ln denota la función logaritmo neperiano).

Solución:

Para obtener f a partir de f´´ tendremos que integrar dos veces:

$\displaystyle f'(x)=\int \ln(x)~dx$ integral que se resuelve integrando por partes:

$\begin{matrix}u=\ln(x)&\to&du=\frac 1x~dx\\dv=dx&\to&v=x\end{matrix}$

$\displaystyle f'(x)=\int \ln(x)~dx=x\ln(x)-\int\frac 1xx~dx=x\ln(x)-\int dx=x\ln(x)-x+k_1$

Podemos ya calcular la función f:

$\displaystyle f(x)=\int x\ln(x)-x+k_1~dx$ donde la integral del primer sumando se hace por partes:

$\begin{matrix}u=\ln(x)&\to&du=\frac 1x~dx\\dv=x~dx&\to&v=\frac{x^2}2\end{matrix}$

$\displaystyle f(x)=\int x\ln(x)-x+k_1~dx=\\\\=\frac{x^2}2\ln(x)-\int\frac{x^2}2\frac 1x~dx-\int x~dx+\int k_1~dx=\\\\=\frac{x^2}2\ln(x)-\int\frac x2~dx-\frac{x^2}2+k_1x=\\\\=\frac{x^2}2\ln(x)-\frac{x^2}4-\frac{x^2}2+k_1x+k_2\\\\f(x)=\frac{x^2}2\ln(x)-\frac{3x^2}4+k_1x+k_2$

Para calcular las constantes de integración utilizamos los datos aportados. Dice que f tiene tangente horizontal en el punto (1,2), lo cual significa que $f(1)=2$ y que $f'(1)=0$ .