Problema 119

Considera las matrices

A=\begin{pmatrix}-1&2\\2&m\end{pmatrix}\qquad\mbox{y}\qquad B=\begin{pmatrix}1&2&0\\-2&m&0\\3&2&m\end{pmatrix}

a) Encuentra el valor, o los valores, de m para los que A y B tienen el mismo rango.

b) Determina, si existen, los valores de m para los que A y B tienen el mismo determinante.


Solución:

a) Calculamos el rango de las matrices en función de los valores de m. Primero calculamos el de la matriz A:

\begin{vmatrix}-1&2\\2&m\end{vmatrix}=-m-4=0\\\\m=-4

  • Caso m≠-4. El rango de A es 2.
  • Caso m=-4. El rango de A es 1 ya no es una matriz nula.

Ahora el rango de la matriz B:

\begin{pmatrix}1&2&0\\-2&m&0\\3&2&m\end{pmatrix}=m^2+4m=m(-m+4)=0\\\\m=0\\m=4

  • Caso m≠0 y m≠4. En estos casos el rango de B es 3.
  • Caso m=0. \begin{vmatrix}1&2\\-2&0\end{vmatrix}=4 por tanto, en este caso, el rango de B es 2.
  • Caso m=4. \begin{vmatrix}1&2\\3&2\end{vmatrix}=2-6=-4 por tanto, en este caso también el rango de B es 2.

Entonces los rangos de A y B son iguales en los casos m=0 y m=4.


b) Ya sabemos los determinantes de ambas matrices. Igualamos ambos determinantes y resolvemos:

|A|=|B|\\\\-m-4=m^2+4m\\\\m^2+5m+4=0\\\\m=-4\\m=-1

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