Sea el plano π≡2x+y-z+8=0.
a) Calcula el punto P´, simétrico del punto P(2,-1,5) respecto del plano π.
b) Calcula la recta r´, simétrica de la recta respecto del plano π.
Solución:
a) Primero calculamos un recta s perpendicular a π y que pasa por P. Por ser perpendicular a π, el vector director de s es un vector paralelo al vector normal del plano: .
o en forma paramétrica:
Ahora calculamos el punto M donde se cortan la recta s y el plano π. Para ello sustituimos las paramétricas de la recta en la implícita del plano:
Sustituyento este valor de λ en las paramétricas de la recta obtenemos las coordenadas del punto M:
Ya podemos calcular el punto P´ sabiendo que el punto M es el punto medio de P y P´:
b) En primer lugar veamos la posición relativa de la recta r con el plano π. Veamos en primer lugar si son paralelos:
por tanto, r y π no son paralelos. Veamos si recta y plano son perpendiculares, (porque si son perpendiculares, la recta simétrica de r con respecto a Π es la propia recta r y nos ahorraríamos el cálculo):
por tanto no son perpendiculares. Por tanto, recta y plano se cortan en un punto pero no perpendicularmente.
La recta simétrica r´ de r con respecto a π es un recta que pasa por el punto Q=r∩π, y por el punto simétrico de otro punto A de r, llamamos a dicho punto A´. Calculamos Q, para ello sustituimos las paramétricas de r en la implícita del plano:
Sea A un punto cualquiera de r distinto de Q, por ejemplo, A(2,-1,5) cuyo simétrico fue calculado en el apartado anterior, es decir, A´(-2,-3,7).
El vector director de la recta r´ no es más que el vector
Luego la recta r´ es en forma vectorial:
♦