Problema 120

Sea el plano π≡2x+y-z+8=0.

a) Calcula el punto P´, simétrico del punto P(2,-1,5) respecto del plano π.

b) Calcula la recta r´, simétrica de la recta \displaystyle r\equiv\frac{x-2}{-2}=\frac{y+1}3=\frac{z-5}1 respecto del plano π.


Solución:

a) Primero calculamos un recta s perpendicular a π y que pasa por P. Por ser perpendicular a π, el vector director de s es un vector paralelo al vector normal del plano: \vec v_s=\vec n_\pi.

s:~(x,y,z)=(2,-1,5)+\lambda(2,1,-1)

o en forma paramétrica:

s:~\left\{\begin{array}{l}x=2+2\lambda\\y=-1+\lambda\\z=5-\lambda\end{array}\right.

p120

Ahora calculamos el punto M donde se cortan la recta s y el plano π. Para ello sustituimos las paramétricas de la recta en la implícita del plano:

2\cdot(2+2\lambda)+(-1+\lambda)-(5-\lambda)+8=\\\\=4+4\lambda-1+\lambda-5+\lambda+8=\\\\=6\lambda+6=0\\\\\lambda=-1

Sustituyento este valor de λ en las paramétricas de la recta obtenemos las coordenadas del punto M:

M=(0,-2,6)

Ya podemos calcular el punto P´ sabiendo que el punto M es el punto medio de P y P´:

\displaystyle M=\frac{P+P'}2\\\\P'=2M-P=2(0,-2,6)-(2,-1,5)=(-2,-3,7)


b) En primer lugar veamos la posición relativa de la recta r con el plano π. Veamos en primer lugar si son paralelos: r\|\pi\iff\vec v_r\bot\vec n_\pi\iff\vec v_r\cdot\vec n_\pi=0

\vec v_r\cdot\vec n_\pi=(-2,3,1)\cdot(2,1,-1)=-4+3-1=-2\neq 0

por tanto, r y π no son paralelos. Veamos si recta y plano son perpendiculares, (porque si son perpendiculares, la recta simétrica de r con respecto a Π es la propia recta r y nos ahorraríamos el cálculo): r\bot\pi\iff\vec v_r\|\vec n_\pi

\displaystyle \frac{-2}2\neq\frac 31 por tanto no son perpendiculares. Por tanto, recta y plano se cortan en un punto pero no perpendicularmente.

p125La recta simétrica r´ de r con respecto a π es un recta que pasa por el punto Q=r∩π, y por el punto simétrico de otro punto A de r, llamamos a dicho punto A´. Calculamos Q, para ello sustituimos las paramétricas de r en la implícita del plano:

r:~\left\{\begin{array}{l}x=2-2\lambda\\y=-1+3\lambda\\z=5+\lambda\end{array}\right.

2(2-2\lambda)+(-1+3\lambda)-(5+\lambda)+8=4-4\lambda-1+3\lambda-5-\lambda+8=-2\lambda+6=0\\\\\lambda=3

Q=(-4,8,8)

Sea A un punto cualquiera de r distinto de Q, por ejemplo, A(2,-1,5) cuyo simétrico fue calculado en el apartado anterior, es decir, A´(-2,-3,7).

El vector director de la recta r´ no es más que el vector \overrightarrow{A'Q}

\overrightarrow{A'Q}=(-4,8,8)-(-2,-3,7)=(-2,11,1)

Luego la recta r´ es en forma vectorial:

r\equiv~(x,y,z)=(-4,8,8)+\lambda(-2,11,1)

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