Problema 120

Sea el plano π≡2x+y-z+8=0.

a) Calcula el punto P´, simétrico del punto P(2,-1,5) respecto del plano π.

b) Calcula la recta r´, simétrica de la recta $\displaystyle r\equiv\frac{x-2}{-2}=\frac{y+1}3=\frac{z-5}1$ respecto del plano π.

Solución:

a) Primero calculamos un recta s perpendicular a π y que pasa por P. Por ser perpendicular a π, el vector director de s es un vector paralelo al vector normal del plano: $\vec v_s=\vec n_\pi$ .

$s:~(x,y,z)=(2,-1,5)+\lambda(2,1,-1)$

o en forma paramétrica:

$s:~\left\{\begin{array}{l}x=2+2\lambda\\y=-1+\lambda\\z=5-\lambda\end{array}\right.$

p120

Ahora calculamos el punto M donde se cortan la recta s y el plano π. Para ello sustituimos las paramétricas de la recta en la implícita del plano:

$2\cdot(2+2\lambda)+(-1+\lambda)-(5-\lambda)+8=\\\\=4+4\lambda-1+\lambda-5+\lambda+8=\\\\=6\lambda+6=0\\\\\lambda=-1$

Sustituyento este valor de λ en las paramétricas de la recta obtenemos las coordenadas del punto M:

$M=(0,-2,6)$

Ya podemos calcular el punto P´ sabiendo que el punto M es el punto medio de P y P´:

$\displaystyle M=\frac{P+P'}2\\\\P'=2M-P=2(0,-2,6)-(2,-1,5)=(-2,-3,7)$

b) En primer lugar veamos la posición relativa de la recta r con el plano π. Veamos en primer lugar si son paralelos: $r\|\pi\iff\vec v_r\bot\vec n_\pi\iff\vec v_r\cdot\vec n_\pi=0$

$\vec v_r\cdot\vec n_\pi=(-2,3,1)\cdot(2,1,-1)=-4+3-1=-2\neq 0$

por tanto, r y π no son paralelos. Veamos si recta y plano son perpendiculares, (porque si son perpendiculares, la recta simétrica de r con respecto a Π es la propia recta r y nos ahorraríamos el cálculo): $r\bot\pi\iff\vec v_r\|\vec n_\pi$

$\displaystyle \frac{-2}2\neq\frac 31$ por tanto no son perpendiculares. Por tanto, recta y plano se cortan en un punto pero no perpendicularmente.

p125 La recta simétrica r´ de r con respecto a π es un recta que pasa por el punto Q=r∩π, y por el punto simétrico de otro punto A de r, llamamos a dicho punto A´. Calculamos Q, para ello sustituimos las paramétricas de r en la implícita del plano: