Problema 121

Se quiere vallar un campo rectangular que está junto a un camino. Si la valla del lado del camino cuesta 80 euros/metro y la de los otros lados 10 euros/metro, halla las dimensiones del campo de área máxima que puede vallarse con 28 800 euros.


Solución:

Nos piden optimizar (maximizar) el área S encerrada por la valla.

p109La figura es un rectángulo de dimensiones x e y.  Supongamos que el lado que da al camino es el lado de la derecha en la figura cuya longitud es y. Ese lado tiene un precio de 80€/m. El resto de lados valen 10€/m.

La función a optimizar es la función área S:

S(x,y)=x\cdot y

Utilizamos la restricción de los 28800€:

\displaystyle 28800=80y+10(y+2x)=90y+20x~;\\\\2880=9y+2x~;\\\\2x=2880-9y~;\\\\x=\frac{2880-9y}2\qquad(1)

Sustituimos en la función área:

\displaystyle S(y)=\frac{2880-9y}2\cdot y=\frac{2880y-9y^2}2

Calculamos los puntos críticos de esta función:
(Recordar la tabla de derivadas)

\displaystyle S'(y)=\frac{2880-18y}2=0~;\\\\2880=18y~;\\\\y=160\mbox{ m}

Veamos si ese punto crítico es un máximo utilizando el test de la derivada segunda:

\displaystyle S''(y)=\frac{-18}2~;\\S''(160)=\frac{-18}2<0

por tanto, se trata de un máximo. Solo queda calcular el valor del otro lado del rectángulo sustituyendo en (1):

\displaystyle x=\frac{2880-9\cdot 160}2=720\mbox{ m}

Los lados del rectángulo son x=720 m e y=160 m.

Más problemas de optimización.

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