Se quiere vallar un campo rectangular que está junto a un camino. Si la valla del lado del camino cuesta 80 euros/metro y la de los otros lados 10 euros/metro, halla las dimensiones del campo de área máxima que puede vallarse con 28 800 euros.
Solución:
Nos piden optimizar (maximizar) el área S encerrada por la valla.
La figura es un rectángulo de dimensiones x e y. Supongamos que el lado que da al camino es el lado de la derecha en la figura cuya longitud es y. Ese lado tiene un precio de 80€/m. El resto de lados valen 10€/m.
La función a optimizar es la función área S:
Utilizamos la restricción de los 28800€:
Sustituimos en la función área:
Calculamos los puntos críticos de esta función:
(Recordar la tabla de derivadas)
Veamos si ese punto crítico es un máximo utilizando el test de la derivada segunda:
por tanto, se trata de un máximo. Solo queda calcular el valor del otro lado del rectángulo sustituyendo en (1):
Los lados del rectángulo son x=720 m e y=160 m.
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