Problema 122

Calcula \displaystyle\int\frac{dx}{(x-2)\sqrt{x+2}}

Sugerencia: \sqrt{x+2}=t.


Solución:

Utilizamos el cambio de variable sugerido:

\displaystyle \sqrt{x+2}=t\\\\x+2=t^2\\\\x=t^2-2\longrightarrow dx=2t~dt\\\\x-2=t^2-2-2=t^2-4

Sustituimos en la integral:

\displaystyle\int\frac{dx}{(x-2)\sqrt{x+2}}=\int\frac{2t}{(t^2-4)t}~dt=\int\frac{2}{t^2-4}~dt

Resulta una integral racional cuyo denominador tiene raíces reales simples. En efecto:

t^2-4=0\\\\t=\pm 2

Por tanto, descomponemos la fracción en:

\displaystyle \frac 2{t^2-4}=\frac A{t-2}+\frac B{t+2}=\frac{A(t+2)+B(t-2)}{(t-2)(t+2)}

Como el primer y tercer denominador son iguales, también lo son los numeradores:

2=A(t+2)+B(t-2)

Damos valores arbitrarios a t para obtener A y B:

  • Si t=2\longrightarrow 2=4A\longrightarrow A=1/2
  • Si t=-2\longrightarrow 2=-4B\longrightarrow B=-1/2

Podemos escribir ya:

\displaystyle\int\frac{2}{t^2-4}~dt=\int\frac {1/2}{t-2}~dt+\int\frac{-1/2}{t+2}~dt=\\\\=\frac 12\ln|t-2|-\frac 12\ln|t+2|+k=\ln\sqrt{t-2}-\ln\sqrt{t+2}+k=\\\\=\ln\left(\frac{\sqrt{t-2}}{\sqrt{t+2}}\right)+k

Deshaciendo el cambio de variable:

\displaystyle\int\frac{dx}{(x-2)\sqrt{x+2}}=\ln\left(\sqrt{\frac{\sqrt{x+2}-2}{\sqrt{x+2}+2}}\right)+c

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