Problema 123

Algebra II, Matrices y determinantes II, Selectividad Mat II

Halla la matriz X que verifica la igualdad AXA⁻¹+B=CA⁻¹ sabiendo que

A=\begin{pmatrix}0&-1&0\\-1&-3&0\\1&4&1\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}1&-1&2\\0&0&-1\\1&0&-1\end{pmatrix},\quad BA=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&-1\\-1&-5&-3\end{pmatrix}.

Solución:

Comenzamos por despejar la matriz X:

AXA^{-1}+B=CA^{-1}\\\\AXA^{-1}=CA^{-1}-B\\\\AX=(CA^{-1}-B)A=CA^{-1}A-BA=C-BA\\\\X=A^{-1}(C-BA)

Necesitamos calcular en primer lugar la matriz inversa de A utilizando la fórmula:

\displaystyle \boxed{A^{-1}=\frac 1{|A|}(\mbox{Adj}A)^t}

|A|=\begin{vmatrix}0&-1&0\\-1&-3&0\\1&4&1\end{vmatrix}=-1

\mbox{Adj}A=\begin{pmatrix}-3&1&-1\\1&0&-1\\0&0&-1\end{pmatrix}

A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-1&0\\-1&0&0\\1&1&1\end{pmatrix}

Ya podemos calcular la matriz X:

C-BA=\begin{pmatrix}1&-1&2\\0&0&-1\\1&0&-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&-1\\-1&-5&-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-2&2\\-1&-1&0\\2&5&2\end{pmatrix}

X=A^{-1}(C-BA)=\begin{pmatrix}3&-1&0\\-1&0&0\\1&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-2&2\\-1&-1&0\\2&5&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-5&6\\0&2&-2\\1&2&4\end{pmatrix}

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