Problema 124

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II

Considera el punto P(-3,1,6) y la recta r dada por \left\{\begin{array}{l}2x-y-5=0\\y-z+2=0\end{array}\right.

a) Determina la ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a r.

b) Calcula las coordenadas del punto simétrico de P respecto de la recta r.

Solución:

a) Por ser el plano Π perpendicular a r entonces \vec n_\pi=\vec v_r. Calculamos en primer lugar el vector director de r pasando dicha recta a su forma paramétrica. Para obtener la forma paramétrica de la recta hacemos el cambio x=λ y lo sustituimos en las ecuaciones implícitas de la recta:

r:\left\{\begin{array}{l}x=\lambda\\y=2\lambda-5\\z=2\lambda-3\end{array}\right.

de donde \vec v_r=(1,2,2)=\vec n_\pi. Por tanto, podemos escribir la ecuación del plano como: x+2y+2z+D=0

Ahora, hemos de obligar a que este plano pase por el punto P:

-3+2\cdot 1+2\cdot 6+D=0\\\\-3+2+12+D=0\\\\D=-11

Luego el plano es: \pi:~x+2y+2z-11=0

p52

b) Para calcular el simétrico de un punto P respecto de un recta r, calculamos un plano perpendicular a la recta y que pase por P. Este cálculo, casualmente, se hizo en el apartado a). El plano es: \pi:~x+2y+2z-11=0

Este plano π se corta con la recta r en el punto M. Calculamos dicho punto sustituyendo las paramétricas de la recta en la ecuación implícita del plano:

\lambda+2(2\lambda-5)+2(2\lambda-3)-11=0\\\\\lambda+4\lambda-10+4\lambda-6-11=0\\\\9\lambda-27=0\\\\\lambda=3

Sustituimos este valor de λ en las paramétricas de la recta y así obtenemos el punto M:

M=(3,1,3)

Dicho punto M es el punto medio entre P y P´, por tanto:

\displaystyle M=\frac{P+P'}2\\\\P+P'=2M\\\\P'=2M-P=2(3,1,3)-(-3,1,6)=(6,2,6)-(-3,1,6)=(9,1,0)

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