Problema 124

Considera el punto P(-3,1,6) y la recta r dada por $\left\{\begin{array}{l}2x-y-5=0\\y-z+2=0\end{array}\right.$

a) Determina la ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a r.

b) Calcula las coordenadas del punto simétrico de P respecto de la recta r.

Solución:

a) Por ser el plano Π perpendicular a r entonces $\vec n_\pi=\vec v_r$ . Calculamos en primer lugar el vector director de r pasando dicha recta a su forma paramétrica. Para obtener la forma paramétrica de la recta hacemos el cambio x=λ y lo sustituimos en las ecuaciones implícitas de la recta:

$r:\left\{\begin{array}{l}x=\lambda\\y=2\lambda-5\\z=2\lambda-3\end{array}\right.$

de donde $\vec v_r=(1,2,2)=\vec n_\pi$ . Por tanto, podemos escribir la ecuación del plano como: $x+2y+2z+D=0$

Ahora, hemos de obligar a que este plano pase por el punto P:

$-3+2\cdot 1+2\cdot 6+D=0\\\\-3+2+12+D=0\\\\D=-11$

Luego el plano es: $\pi:~x+2y+2z-11=0$

p52

b) Para calcular el simétrico de un punto P respecto de un recta r, calculamos un plano perpendicular a la recta y que pase por P. Este cálculo, casualmente, se hizo en el apartado a). El plano es: $\pi:~x+2y+2z-11=0$

Este plano π se corta con la recta r en el punto M. Calculamos dicho punto sustituyendo las paramétricas de la recta en la ecuación implícita del plano:

$\lambda+2(2\lambda-5)+2(2\lambda-3)-11=0\\\\\lambda+4\lambda-10+4\lambda-6-11=0\\\\9\lambda-27=0\\\\\lambda=3$