Considera el punto P(-3,1,6) y la recta r dada por

a) Determina la ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a r.

b) Calcula las coordenadas del punto simétrico de P respecto de la recta r.

Solución:

a) Por ser el plano Π perpendicular a r entonces . Calculamos en primer lugar el vector director de r pasando dicha recta a su forma paramétrica. Para obtener la forma paramétrica de la recta hacemos el cambio x=λ y lo sustituimos en las ecuaciones implícitas de la recta:

de donde . Por tanto, podemos escribir la ecuación del plano como:

Ahora, hemos de obligar a que este plano pase por el punto P:

Luego el plano es:

b) Para calcular el simétrico de un punto P respecto de un recta r, calculamos un plano perpendicular a la recta y que pase por P. Este cálculo, casualmente, se hizo en el apartado a). El plano es: 

Este plano π se corta con la recta r en el punto M. Calculamos dicho punto sustituyendo las paramétricas de la recta en la ecuación implícita del plano:

Sustituimos este valor de λ en las paramétricas de la recta y así obtenemos el punto M:

Dicho punto M es el punto medio entre P y P´, por tanto:

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