Problema 125

Determina a y b sabiendo que b>0 y que la función f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R definida como

f(x)=\left\{\begin{array}{lcc}a\cos(x)+2x&\mbox{si}&x<0\\\displaystyle a^2\ln(x+1)+\frac b{x+1}&\mbox{si}&x\geq 0\end{array}\right.

es derivable. (ln denota la función logaritmo neperiano).


Solución:

Si esta función es derivable en todo su dominio entonces es continua y derivable en x=0 en concreto. Estudiamos la continuidad en x=0:

  • \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^-}a\cos(x)+2x=a
  • \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+}a^2\ln(x+1)+\frac b{x+1}=b
  • \displaystyle f(0)=a^2\ln(0+1)+\frac b{0+1}=b

Para que sea continua en x=0, ha de ser a=b. Y como b>0 entonces a>0.

Estudiamos la derivabilidad en x=0, pero primero calculamos la función derivada

f'(x)=\left\{\begin{array}{lcc}-a\,\mbox{sen}(x)+2&\mbox{si}&x<0\\\displaystyle \frac{a^2}{x+1}-\frac b{(x+1)^2}&\mbox{si}&x>0\end{array}\right.

  • \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^-}-a\,\mbox{sen}(x)+2=2
  • \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{a^2}{x+1}-\frac b{(x+1)^2}=a^2-b

Para que la función sea continua y derivable en x=0 ha de cumplirse:

\left\{\begin{array}{c}a=b\\a^2-b=2\end{array}\right.

Sistema que resolvemos por sustitución:

a^2-a-2=0

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son a=2 y a=-1. La solución negativa se descarta porque ya se dijo que a>0. Luego los valores buscados son a=2 y b=2.

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