Problema 126

Sea g la función definida por g(x)=\ln(x) para x>0 (ln denota la función logaritmo neperiano). Calcula el valor de a>1 para el que el área del recinto limitado por la gráfica de g, el eje de abscisas y la recta x=a es 1.


Solución:

La función ln(x) es una función elemental creciente y cóncava en todo su dominio, con única asíntota vertical en x=0. La recta x=a es un recta vertical que pasa por el punto (a,0).

Estas dos funciones junto con el eje de abscisas se representa en la siguiente gráfica y encierran una superficie que se muestra sombreada:

p126Nos piden que calculemos el valor de a para que el área encerrada sea 1. Comenzamos por escribir la integral que nos dará el valor de dicho área:

\displaystyle \int_1^a\ln(x)~dx

Esta integral se resuelve utilizando el método de integración por partes:

\begin{array}{lcl}u=\ln(x)&\longrightarrow&du=\frac 1x~dx\\dv=dx&\longrightarrow&v=x\end{array}

\displaystyle\int_1^a\ln(x)~dx=[x\ln(x)]_1^a-\int_1^ax\frac 1x~dx=\\\\=[a\ln(a)-1\ln(1)]-\int_1^adx=a\ln(a)-[x]_1^a=\\\\=a\ln(a)-(a-1)=a\ln(a)-a+1

Este resultado lo igualamos a 1 y resolvemos:

a\ln(a)-a+1=1\\\\a\ln(a)-a=0\\\\a(\ln(a)-1)=0

Ecuación cuyas soluciones son a=0 (que no vale porque ha de ser a>1), y

\ln(a)-1=0\\\\\ln(a)=1

de donde a=e.

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