Problema 127

Considera el siguiente sistema de ecuaciones

\left\{\begin{array}{ccc}\lambda x+\lambda y+\lambda z&=&0\\\lambda x+2y+2z&=&0\\\lambda x+2y+z&=&0\end{array}\right.

a) Discute el sistema según los valores de λ.

b) Determina, si existen, los valores de λ para los que el sistema tiene alguna solución en la que z≠0.


Solución:

a) Para discutir el sistema de ecuaciones utilizaremos el teorema de Rouché-Fröbenius. Calculamos en primer lugar el rango de la matriz de coeficientes M=\begin{pmatrix}\lambda&\lambda&\lambda\\\lambda&2&2\\\lambda&2&1\end{pmatrix}

\begin{vmatrix}\lambda&\lambda&\lambda\\\lambda&2&2\\\lambda&2&1\end{vmatrix}=\lambda^2-2\lambda

Este determinante vale 0 sí λ=0 o λ=2, por tanto:

  • Si λ≠0 y λ≠2 entonces el rango de M es 3. El rango de la matriz ampliada  también es 3 porque se trata de un sistema homogéneo. Luego el sistema es compatible determinado.
  • Si λ=0 la matriz M=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&2&2\\0&2&1\end{pmatrix} tiene rango 2 ya que \begin{vmatrix}2&2\\2&1\end{vmatrix}\neq0, y es igual al rango de la matriz ampliada pero menor que el número de incógnitas, por tanto, en este caso el sistema es compatible indeterminado.
  • Si λ=2, la matriz de coeficientes es: M=\begin{pmatrix}2&2&2\\2&2&2\\2&2&1\end{pmatrix} que también tiene rango 2 ya que \begin{vmatrix}2&2\\2&1\end{vmatrix}\neq0 y da lugar también a un sistema compatible indeterminado.

b) Si existe en este sistema alguna solución donde z≠0 no será en el caso de un sistema compatible determinado ya que, los sistemas homogéneos donde el sistema sea compatible determinado, la única solución es la trivial.

Veamos los casos en los que el sistema no es compatible determinado, es decir:

  • Caso λ=0. En este caso el sistema tenía rango 2 como demostramos anteriormente, por tanto, el sistema original es equivalente al siguiente:

\left\{\begin{array}{ccc}2y+2z&=&0\\2y+z&=&0\end{array}\right.

Para resolverlo hacemos el cambio x=μ, el sistema anterior tiene por solución:

\left\{\begin{array}{l}x=\mu\\y=0\\z=0\end{array}\right.

En este caso no es posible encontrar una solución con z≠0.

  • Caso λ=2. En este caso el sistema también tiene rango 2 y el sistema original es equivalente al siguiente:

\left\{\begin{array}{ccc}2x+2y+2z&=&0\\2x+2y+z&=&0\end{array}\right.

Haciendo el cambio x=μ el sistema sería

\left\{\begin{array}{ccc}2y+2z&=&-2\mu\\2y+z&=&-2\mu\end{array}\right.

cuya solución es:

\left\{\begin{array}{l}x=\mu\\y=-\mu\\z=0\end{array}\right.

es decir, en este caso tampoco encontramos soluciones con z≠0, y por tanto, no existen valores de λ para los cuales el sistema tenga una solución con z≠0.

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