Los puntos A(0,1,1) y B(2,1,3) son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice es un punto de la recta r dada por
a) Calcula las coordenadas de los vértices puntos C de r para que el triángulo ABC tenga un ángulo recto en el vértice A.
b) Calcula las coordenadas de los posibles puntos D de r para que el triángulo ABD tenga un área igual a .
Solución:
a) En primer lugar escribimos la recta r en forma paramétrica haciendo el cambio x=λ:
Como el punto C pertenece a la recta r entonces .
Los tres puntos A, B y C forman un triángulo. Nos piden que dicho triángulo forme un ángulo recto en el vértice A. Eso es equivalente a decir que los vectores y
sean perpendiculares:
Para que ambos vectores sean perpendiculares tiene que ser
Luego el punto C buscado es:
b) Por ser el punto D un punto de r, dicho punto tiene las siguientes coordenadas: .
Recordamos la fórmula del área S del triángulo formado por dos vectores es:
y que tenemos los vectores y
, entonces
Podemos ya resolver la siguiente ecuación:
Ecuación esta última cuyas soluciones son λ=-1 y λ=-1/9. Sustituyendo estos valores de λ en la expresión del punto D se obtiene:
♦