Problema 128

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II

Los puntos A(0,1,1) y B(2,1,3) son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice es un punto de la recta r dada por

\left\{\begin{array}{rcc}2x+y&=&0\\z&=&0\end{array}\right.

a) Calcula las coordenadas de los vértices puntos C de r para que el triángulo ABC tenga un ángulo recto en el vértice A.

b) Calcula las coordenadas de los posibles puntos D de r para que el triángulo ABD tenga un área igual a \sqrt 2.

Solución:

a) En primer lugar escribimos la recta r en forma paramétrica haciendo el cambio x=λ:

\left\{\begin{array}{l}x=\lambda\\y=-2\lambda\\z=0\end{array}\right.

Como el punto C pertenece a la recta r entonces C=(\lambda,-2\lambda,0).

Los tres puntos A, B y C forman un triángulo. Nos piden que dicho triángulo forme un ángulo recto en el vértice A. Eso es equivalente a decir que los vectores \overrightarrow{AB} y \overrightarrow{AC} sean perpendiculares:

\overrightarrow{AB}=(2,1,3)-(0,1,1)=(2,0,2)\\\\\overrightarrow{AC}=(\lambda,-2\lambda,0)-(0,1,1)=(\lambda,-2\lambda-1,-1)

Para que ambos vectores sean perpendiculares tiene que ser \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=(2,0,2)\cdot(\lambda,-2\lambda-1,-1)=2\lambda-2=0\\\\2\lambda=2\\\\\lambda=1

Luego el punto C buscado es: C=(1,-2,0)

b) Por ser el punto D un punto de r, dicho punto tiene las siguientes coordenadas: D=(\lambda,-2\lambda,0).

Recordamos la fórmula del área S del triángulo formado por dos vectores es:

\displaystyle\boxed{S=\frac{|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}|}2}

y que tenemos los vectores \overrightarrow{AB}=(2,0,2) y \overrightarrow{AC}=(\lambda,-2\lambda-1,-1), entonces

\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\2&0&2\\\lambda&-2\lambda-1&-1\end{vmatrix}=2\lambda\vec\jmath-2(2\lambda+1)\vec k+2\vec\jmath+2(2\lambda+1)\vec\imath=\\\\=(4\lambda+2,2\lambda+2,-4\lambda-2)

|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}|=\sqrt{(4\lambda+2)^2+(2\lambda+2)^2+(-4\lambda-2)^2}=\\\\=\sqrt{16\lambda^2+16\lambda+4+4\lambda^2+8\lambda+4+16\lambda^2+16\lambda+4}=\\\\=\sqrt{36\lambda^2+40\lambda+12}=2\sqrt{9\lambda^2+10\lambda+3}

Podemos ya resolver la siguiente ecuación:

\displaystyle S=\sqrt 2=\frac{2\sqrt{9\lambda^2+10\lambda+3}}2\\\\\sqrt 2=\sqrt{9\lambda^2+10\lambda+3}\\\\2=9\lambda^2+10\lambda+3\\\\9\lambda^2+10\lambda+1=0

Ecuación esta última cuyas soluciones son λ=-1 y λ=-1/9. Sustituyendo estos valores de λ en la expresión del punto D se obtiene:

D_1=(-1,2,0)\\\\D_2=(-1/9,2/9,0)

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