Problema 129

Halla a y b sabiendo que es continua la función f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R definida como

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\displaystyle\frac{x+\cos(x)-ae^x}{x^2}&\mbox{si}&x\neq0\\b&\mbox{si}&x=0\end{array}\right.


Solución:

Esta función f es continua en x=0 si \displaystyle\lim_{x\rightarrow0^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow0^-}f(x)=f(0) que además tendrá que ser un valor finito:

  • \displaystyle\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{x+\cos(x)-ae^x}{x^2}=\frac{1-a}0

Para que el resultado de este límite sea finito, ha de ser 1-a=0, de donde, a=1. Con este valor de a calculamos el límite usando la regla de L’Hôpital:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{x+\cos(x)-e^x}{x^2}=\frac 00\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{1-\mbox{sen}(x)-e^x}{2x}=\\\\=\frac 00\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{-\cos(x)-e^x}2=\frac{-2}2=-1

  • Ahora calculamos el \displaystyle\lim_{x\rightarrow0^-}f(x)

\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^-}\frac{x+\cos(x)-e^x}{x^2}=\frac 00\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0^-}\frac{1-\mbox{sen}(x)-e^x}{2x}=\\\\=\frac 00\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0^-}\frac{-\cos(x)-e^x}2=\frac{-2}2=-1

  • f(0)=b

Entonces para que f sea continua en x=0 ha de ser b=-1.

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