Problema 130

Sea f la función definida por f(x)=|\ln(x)| para x>0 (ln denota la función logaritmo neperiano).

a) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f y la recta y=1.

b) Calcula los puntos de corte de la gráfica de f con la recta y=1.

c) Calcula el área del recinto citado.


Solución:

a) La función f(x)=\ln(x) es una función elemental con dominio \mathbb R^+, creciente y cóncava en todo su dominio, con una asíntota vertical en x=0:

lnxPero en este caso, la función es en valor absoluto, lo cual hará que la función tome siempre valores positivos. Podemos verlo mejor expresado si escribimos la función valor absoluto como una función a trozos:

f(x)=|\ln(x)|=\left\{\begin{array}{ccc}\ln(x)&\mbox{si}&\ln(x)\geq0\\-\ln(x)&\mbox{si}&\ln(x)<0\end{array}\right.

Sabemos que ln(x)≥0 para x≥1 y que ln(x)<0 si x<1, entonces:

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\ln(x)&\mbox{si}&x\geq1\\-\ln(x)&\mbox{si}&x<1\end{array}\right.

La consecuencia es que la rama negativa de la función anterior se vuelve positiva.

Por otra parte, tenemos la recta y=1 que es una recta horizontal que delimita con la función anterior la siguiente región:

p130


b) En la gráfica anterior observamos que f corta a la recta en dos puntos x=a y x=b. Para calcular ambos puntos igualamos la ecuación de la función a la de la recta:

  • Cálculo de a. Como a<1, entonces f(a)=-\ln(a)

-\ln(a)=1\\\ln(a)=-1\\a=e^{-1}=1/e

  • Cálculo de b. Como b>1, entonces f(b)=\ln(b)

\ln(b)=1\\b=e^1=e


c) Calculamos el área S de la región anterior utilizando el cálculo integral:

\displaystyle S=\int_{1/e}^11-(-\ln(x))~dx+\int_1^{e}1-\ln(x)~dx=\int_{1/e}^11+\ln(x)~dx+\int_1^{e}1-\ln(x)~dx

Calculamos la integral \displaystyle\int \ln(x)~dx utilizando el método de integración por partes:

\displaystyle \begin{array}{lcl}u=\ln(x)~dx&\longrightarrow&du=\frac 1x~dx\\dv=dx&\longrightarrow&v=x\end{array}

Luego, \displaystyle\int \ln(x)~dx=x\ln(x)-\int x\frac 1x~dx=x\ln(x)-x+k, aunque la constante de integración no se tiene en cuenta en integrales definidas.

Volvemos al cálculo del área

\displaystyle S=\int_{1/e}^11+\ln(x)~dx+\int_1^{e}1-\ln(x)~dx=\\\\=[x+x\ln(x)-x]_{1/e}^1+[x-x\ln(x)+x]_{1}^e=\\\\=[x\ln(x)]_{1/e}^1+[2x-x\ln(x)]_1^e=\\\\=\left(1\ln(1)-\frac 1e\ln\left(\frac 1e\right)\right)+\left(2e-e\ln(e)-2+1\ln(1)\right)=\\\\=\left(0+\frac 1e\right)+(2e-e-2)=\frac 1e+e-2=\frac{e^2-2e+1}e\mbox{ u.a.}

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