Problema 131

Considera la matriz A=\begin{pmatrix}0&1&m\\m-1&0&2\\0&1-m&0\end{pmatrix}.

a) Hallar el valor, o valores, de m para los que la matriz A tiene rango 2.

b) Para m=1, determina A^{2015}.


Solución:

a) Para que la matriz A no tenga rango 3, su determinante tiene que valer 0:

\begin{vmatrix}0&1&m\\m-1&0&2\\0&1-m&0\end{vmatrix}=m(m-1)(1-m)=-m(m-1)^2=0

Ecuación cuyas soluciones son m=0 y m=1. Veamos cual es el rango de A para estos valores de m:

  • Caso m=0: A=\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&2\\0&1&0\end{pmatrix}. El rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&0\\0&2\end{vmatrix}\neq0
  • Caso m=1: A=\begin{pmatrix}0&1&1\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix} y el rango de A también es 2 ya que \begin{vmatrix}1&1\\0&2\end{vmatrix}\neq0

b) En el caso m=1 la matriz A es:

A=\begin{pmatrix}0&1&1\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}

Calculemos las potencias sucesivas de A hasta ver que se cumple alguna propiedad:

A^2=\begin{pmatrix}0&1&1\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1&1\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&2\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}

A^3=A^2\cdot A=\begin{pmatrix}0&0&2\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1&1\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}=\overline0

Es decir, la matriz A³ es la matriz nula por lo que las potencias superiores también los serán, en particular, A^{2015}=\overline0.

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