Problema 132

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II

Sean los planos \pi\equiv x+3y+2z-5=0 y \pi'\equiv -2x+y+3z+3=0.

a) Determina el ángulo que forman π y π´.

b) Calcula el volumen del tetraedro limitado por π y los planos coordenados.

Solución:

a) El ángulo que forman dos planos es igual al ángulo que forman sus vectores normales, por tanto, lo que haremos será calcular dicho ángulo. Siendo \vec n_\pi=(1,3,2) y \vec n_{\pi'}=(-2,1,3), y recordando que el ángulo agudo α que forman dos vectores \vec a y \vec b es:

\displaystyle\boxed{\cos(\alpha)=\frac{|\vec a\cdot\vec b|}{|\vec a||\vec b|}}

entonces el ángulo que forman \vec n_\pi y \vec n_{\pi'} es:

\displaystyle\cos(\alpha)=\frac{|\vec n_\pi\cdot\vec n_{\pi'}|}{|\vec n_\pi||\vec n_{\pi'}|}

\vec n_\pi\cdot\vec n_{\pi'}=(1,3,2)\cdot(-2,1,3)=-2+3+6=7\\\\|\vec n_\pi|=\sqrt{1^2+3^2+2^2}=\sqrt{14}\\\\|\vec n_{\pi'}|=\sqrt{(-2)^2+1^2+3^2}=\sqrt{14}

Luego,

\displaystyle \cos(\alpha)=\frac 7{\sqrt{14}\sqrt{14}}=\frac 12\\\\\alpha=\arccos\left(\frac 12\right)=\frac{\pi}3\mbox{ rad}

b) Primero calculamos los puntos donde el plano π corta a los ejes coordenados:

A=\pi\cap\mbox{eje }x=\left\{\begin{array}{l}x+3y+2z-5=0\\y=0\\z=0\end{array}\right.

de donde A=(5,0,0).

B=\pi\cap\mbox{eje }y=\left\{\begin{array}{l}x+3y+2z-5=0\\x=0\\z=0\end{array}\right.

de donde B=(0,5/3,0).

C=\pi\cap\mbox{eje }z=\left\{\begin{array}{l}x+3y+2z-5=0\\x=0\\y=0\end{array}\right.

de donde C=(0,0,5/2).

Junto con el origen de coordenadas O=(0,0,0), estos 3 puntos forman un tetraedro cuyo volumen es:

\displaystyle V=\frac{|[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}]|}6

\overrightarrow{OA}=(5,0,0)\\\\\overrightarrow{OB}=(0,5/3,0)\\\\\overrightarrow{OC}=(0,0,5/2)

[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}]=\begin{vmatrix}5&0&0\\0&5/3&0\\0&0&5/2\end{vmatrix}=125/6

\displaystyle V=\frac{125/6}6=\frac{125}{36}\mbox{ u.v.}

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