Problema 133

Sea f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R la función definida por f(x)=(x^2+3x+1)e^{-x}.

a) Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de f.

b) Halla los puntos de la gráfica de f cuya recta tangente es horizontal.

c) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=0.


Solución:

a) El dominio de esta función es \mathbb R, por tanto, no tiene asíntota vertical.

  • Veamos si tiene asíntota horizontal:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}(x^2+3x+1)e^{-x}=\infty\cdot 0\overset{IND}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2+3x+1}{e^x}=\frac{\infty}{\infty}

indeterminación ésta última que se resuelve utilizando la regla de L’Hôpital:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2+3x+1}{e^x}=\frac{\infty}{\infty}\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2x+3}{e^x}=\frac{\infty}{\infty}\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac 2{e^x}=0

Por tanto, f se aproxima de manera asintótica a la recta horizontal de ecuación y=0 cuando x→+∞. Veamos qué ocurre cuando x→-∞:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow-\infty}(x^2+3x+1)e^{-x}=\infty\cdot e^{+\infty}=\infty

En este caso no tiene asíntota horizontal.

  • Veamos si tiene asíntota oblicua cuando x→-∞:

\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{(x^2+3x+1)e^{-x}}x=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{(x^2-3x+1)e^{x}}{-x}=\frac{\infty}{\infty}\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{(2x-3)e^x+(x^2-3x+1)e^x}{-1}=\frac{\infty}{-1}=\infty

Por tanto, en ningún caso, tiene asíntota oblicua.


b) Los puntos de la gráfica de f cuya recta tangente es horizontal cumplen que f'(x)=0:

\displaystyle f'(x)=(2x+3)e^{-x}+(x^2+3x+1)e^{-x}(-1)=(2x+3)e^{-x}-(x^2+3x+1)e^{-x}=0\\\\e^{-x}(-x^2-x+2)=0

Ecuación esta última que tiene por soluciones:

  • e^{-x}=0 que no tiene solución.
  • -x^2-x+2=0 cuyas soluciones son x=1 y x=-2.

Para x=1,~y=f(1)=5/e y para x=-2,~y=f(-2)=-e^2. Luego los puntos donde f tiene una recta tangente horizontal es:

P_1=(1,5/e)\\P_2=(-2,-e^2)


c) La ecuación de la recta tangente en el punto de tangencia x=x_0 de la función f es:

\boxed{y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)}

Sabemos que x_0=0 luego:

f(0)=1e^{-0}=1\\\\f'(0)=e^{-0}(-0^2-0+2)=1\cdot 2=2

Sustituyendo en la ecuación de la recta tangente:

y-1=2(x-0)\\\\y=2x+1

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