Problema 134

Análisis matemático II, Integral indefinida y definida II, Selectividad Mat II

Calcula \displaystyle\int e^{2x}\,\mbox{sen}(x)~dx.

Solución:

Llamamos I a la integral original:

\displaystyle I=\int e^{2x}\,\mbox{sen}(x)~dx

Utilizamos el método de integración por partes:

\begin{matrix}u=\mbox{sen}(x)&\longrightarrow&du=\cos(x)~dx\\dv=e^{2x}~dx&\longrightarrow&v=\frac 12e^{2x}\end{matrix}

luego:

\displaystyle I=\int e^{2x}\,\mbox{sen}(x)~dx=\frac 12e^{2x}\,\mbox{sen}(x)-\frac 12\int e^{2x}\cos(x)~dx=\circledast

Esta última integral también se resuelve integrando por partes:

\begin{matrix}u=\cos(x)&\longrightarrow&du=-\mbox{sen}(x)~dx\\dv=e^{2x}~dx&\longrightarrow&v=\frac 12e^{2x}\end{matrix}

\displaystyle \circledast=\frac 12e^{2x}\,\mbox{sen}(x)-\frac 12\left[\frac 12e^{2x}\cos(x)-\frac 12\int e^{2x}(-\mbox{sen}(x))~dx\right]=\\\\=\frac 12e^{2x}\,\mbox{sen}(x)-\frac 14e^{2x}\cos(x)-\frac 14\int e^{2x}\mbox{sen}(x)~dx

Esta última integral es igual a la original, por tanto, podemos escribir que

\displaystyle I=\frac 12e^{2x}\,\mbox{sen}(x)-\frac 14e^{2x}\cos(x)-\frac 14I

De esta ecuación, despejamos I:

\displaystyle I+\frac 14I=\frac 12e^{2x}\,\mbox{sen}(x)-\frac 14e^{2x}\cos(x)\\\\\frac 54I=\frac 12e^{2x}\,\mbox{sen}(x)-\frac 14e^{2x}\cos(x)\\\\5I=\frac 42e^{2x}\,\mbox{sen}(x)-\frac 44e^{2x}\cos(x)=2e^{2x}\,\mbox{sen}(x)-e^{2x}\cos(x)\\\\I=\frac 25e^{2x}\,\mbox{sen}(x)-\frac 15e^{2x}\cos(x)+k

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