Problema 135

Considera el siguiente sistema de ecuaciones

\left\{\begin{array}{ccc}x+\alpha z&=&2\\2x+\alpha y&=&\alpha +4\\3x+y+(\alpha+4)z&=&7\end{array}\right.

a) Discute el sistema según los valores de α.

b) Resuelve el sistema para α=2.


Solución:

a) Para discutir este sistema de ecuaciones utilizaremos el teorema de Rouché-Fröbenius.

Matriz de coeficientes:

M=\begin{pmatrix}1&0&\alpha\\2&\alpha&0\\3&1&\alpha+4\end{pmatrix}

Matriz ampliada:

M^*=\begin{pmatrix}1&0&\alpha&2\\2&\alpha&0&\alpha+4\\3&1&\alpha+4&7\end{pmatrix}

Calculemos el rango de la matriz de coeficientes:

\begin{array}{rl}\begin{vmatrix}1&0&\alpha\\2&\alpha&0\\3&1&\alpha+4\end{vmatrix}&=\alpha(\alpha+4)+2\alpha-3\alpha^2=\\&=\alpha^2+4\alpha+2\alpha-3\alpha^2=6\alpha-2\alpha^2=\\&=2\alpha(3-\alpha)\end{array}

Este determinante vale 0 si α=0 y α=3, por tanto:

  • Si α≠0 y α≠3 entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y por tanto el sistema es compatible determinado.
  • Si α=0 entonces rg(M)=2 ya que \begin{vmatrix}2&0\\3&1\end{vmatrix}=2\neq0. Calculemos el rango de M*:

\begin{vmatrix}1&0&2\\2&0&4\\3&1&7\end{vmatrix}=0

Luego el rg(M*)=2 y el sistema es compatible indeterminado.

  • Si α=3 el rg(M)=2 ya que \begin{vmatrix}1&0\\2&3\end{vmatrix}=3\neq0. Calculamos el rg(M*):

\begin{vmatrix}1&0&2\\2&3&7\\3&1&7\end{vmatrix}=21+4-18-7=0

Por tanto, el rg(M*)=2 y el sistema es compatible indeterminado.


b) Para α=2 el sistema es compatible determinado como dijimos antes. Para resolverlo utilizaremos la regla de Cramer:

\displaystyle x=\frac{\begin{vmatrix}2&0&2\\6&2&0\\7&1&6\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&0&2\\2&2&0\\3&1&6\end{vmatrix}}=\frac 84=2

\displaystyle y=\frac{\begin{vmatrix}1&2&2\\2&6&0\\3&7&6\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&0&2\\2&2&0\\3&1&6\end{vmatrix}}=\frac 44=1

\displaystyle z=\frac{\begin{vmatrix}1&0&2\\2&2&6\\3&1&7\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&0&2\\2&2&0\\3&1&6\end{vmatrix}}=\frac 04=0

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