Problema 136

Sean el punto P(1,6,-2) y la recta \displaystyle r\equiv\frac{x-5}6=\frac{y+1}{-3}=\frac z2.

a) Halla la ecuación general del plano π que contiene al punto P y a la recta r.

b) Calcula la distancia entre el punto P y la recta r.


Solución:

a) El plano π que contiene al punto P y a la recta r estará formado por el punto P y por los vectores directores \vec v_r y \overrightarrow{PP_r}, donde P_r es un punto cualquiera de la recta r.

A partir de la ecuación continua de la recta r, observamos que P_r=(5,-1,0) y que \vec v_r=(6,-3,2) de donde:

\overrightarrow{PP_r}=(5,-1,0)-(1,6,-2)=(4,-7,2)

\begin{vmatrix}x-1&y-6&z+2\\4&-7&2\\6&-3&2\end{vmatrix}=-14(x-1)+12(y-6)-12(z+2)+42(z+2)-8(y-6)+6(x-1)=-8(x-1)+4(y-6)+30(z+2)=0\\\\-4(x-1)+2(y-6)+15(z+2)=0\\\\-4x+4+2y-12+15z+30=0\\\\\pi\equiv-4x+2y+15z+22=0


b) La distancia desde un punto P hasta una recta r es:

\displaystyle\boxed{d(P,r)=\frac{|\vec v_r\times\overrightarrow{PP_r}|}{|\vec v_r|}}

\vec v_r\times\overrightarrow{PP_r}=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\4&-7&2\\6&-3&2\end{vmatrix}=-8\vec\imath+4\vec\jmath+30\vec k=(-8,4,30)

|\vec v_r\times\overrightarrow{PP_r}|=\sqrt{(-8)^2+4^2+30^2}=\sqrt{980}=2\sqrt{245}=14\sqrt 5

|\vec v_r|=\sqrt{6^2+(-3)^2+2^2}=\sqrt{49}=7

Luego:

\displaystyle d(P,r)=\frac{14\sqrt 5}7=2\sqrt 5\mbox{ u.l.}

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