Problema 137

Sea f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R definida por f(x)=x^3+ax^2+bx+c.

a) Halla a, b y c para que la gráfica de f tenga un punto de inflexión de abscisa x=\frac 12 y que la recta tangente en el punto de abscisa x=0 tenga por ecuación y=5-6x.

b) Para a=3, b=-9 y c=8, calcula los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).


Solución:

a) A partir de las condiciones propuestas obtenemos diferentes ecuaciones:

  • Punto de inflexión en \displaystyle x=\frac 12\longrightarrow f''(1/2)=0
  • La recta tangente en x=0 es y=5-6x, por lo que f(0)=5-6\cdot 0=5 y f'(0)=-6

Con estas tres ecuaciones podemos ya obtener las parámetros propuestos.

f(x)=x^3+ax^2+bx+c\\f'(x)=3x^2+2ax+b\\f''(x)=6x+2a\\\\f''(1/2)=6\cdot 1/2+2a=3+2a=0\\f'(0)=3\cdot 0^2+2a\cdot 0+b=b=-6\\f(0)=0^3+a\cdot 0^2+b\cdot 0+c=c=5

De estas ecuaciones obtenemos que a=-3/2, b=-6 y c=5.


b) Sea la función f(x)=x^3+3x^2-9x+8. Calculamos sus puntos críticos:

f'(x)=3x^2+6x-9=0

ecuación cuyas soluciones son x=1 y x=-3. Los valores que toman la función en esos extremos son:

f(1)=1^3+3\cdot 1^2-9\cdot 1+8=1+3-9+8=3\\f(-3)=(-3)^3+3\cdot(-3)^2-9\cdot(-3)+8=-27+27+27+8=35

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