Sean 
a) Esboza las gráficas de f y g sobre los mismos ejes y calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.
b) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g.
Solución:
a) La primera función 
f es una recta creciente para valores mayores que 0 y una recta decreciente para valores menores que 0. Ambas pasan por el punto (0,0). Observamos que f es una función par ya que
La segunda función 
entonces sí tiene asíntota horizontal que es el propio eje x. Tiene también simetría par ya que 
y no corta al eje x ya que
ecuación cuya solución es x=0 y es, por tanto, el único punto crítico.
En x=0 observamos un máximo en g cuyo valor es 
Con todos estos datos podemos hacer un esbozo de ambas gráficas que debe quedar semejante a:
b) El área S de la región limitada por ambas funciones es:
pero como ambas funciones son pares dicho área lo podemos escribir como:
Solo tenemos que calcular el punto x=b donde f se corta con g. Para ello, igualamos las dos funciones y resolvemos:
ecuación cuya solución real es x=1. Por tanto, el área S vale:
![\displaystyle S=2\int_0^1 \frac 1{1+x^2}-\frac x2~dx=2\left[\arctan(x)-\frac{x^2}4\right]_0^1=\\\\=2\left[\left(\arctan 1-\frac 14\right)-\left(\arctan0-\frac 04\right)\right]=\\\\=2\left[\frac \pi4-\frac 14\right]=\frac{\pi-1}2\mbox{ u.a.}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+S%3D2%5Cint_0%5E1+%5Cfrac+1%7B1%2Bx%5E2%7D-%5Cfrac+x2%7Edx%3D2%5Cleft%5B%5Carctan%28x%29-%5Cfrac%7Bx%5E2%7D4%5Cright%5D_0%5E1%3D%5C%5C%5C%5C%3D2%5Cleft%5B%5Cleft%28%5Carctan+1-%5Cfrac+14%5Cright%29-%5Cleft%28%5Carctan0-%5Cfrac+04%5Cright%29%5Cright%5D%3D%5C%5C%5C%5C%3D2%5Cleft%5B%5Cfrac+%5Cpi4-%5Cfrac+14%5Cright%5D%3D%5Cfrac%7B%5Cpi-1%7D2%5Cmbox%7B+u.a.%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\displaystyle S=2\int_0^1 \frac 1{1+x^2}-\frac x2~dx=2\left[\arctan(x)-\frac{x^2}4\right]_0^1=\\\\=2\left[\left(\arctan 1-\frac 14\right)-\left(\arctan0-\frac 04\right)\right]=\\\\=2\left[\frac \pi4-\frac 14\right]=\frac{\pi-1}2\mbox{ u.a.}")
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