Sean y
las funciones definidas respectivamente por
a) Esboza las gráficas de f y g sobre los mismos ejes y calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.
b) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g.
Solución:
a) La primera función la escribimos como una función a trozos:
f es una recta creciente para valores mayores que 0 y una recta decreciente para valores menores que 0. Ambas pasan por el punto (0,0). Observamos que f es una función par ya que
La segunda función tiene por dominio
por lo que no tiene asíntota vertical. Como todas las funciones racionales, es continua en todo su dominio. Como:
entonces sí tiene asíntota horizontal que es el propio eje x. Tiene también simetría par ya que . Corta al eje y en
y no corta al eje x ya que
no tiene solución, por lo que la función es siempre positiva. Por otra parte, en cuanto a la monotonía:
ecuación cuya solución es x=0 y es, por tanto, el único punto crítico.
En x=0 observamos un máximo en g cuyo valor es .
Con todos estos datos podemos hacer un esbozo de ambas gráficas que debe quedar semejante a:
b) El área S de la región limitada por ambas funciones es:
pero como ambas funciones son pares dicho área lo podemos escribir como:
Solo tenemos que calcular el punto x=b donde f se corta con g. Para ello, igualamos las dos funciones y resolvemos:
ecuación cuya solución real es x=1. Por tanto, el área S vale:
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