Problema 138

Sean f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R y g:\mathbb R\rightarrow\mathbb R las funciones definidas respectivamente por

\displaystyle f(x)=\frac{|x|}2\qquad\mbox y\qquad g(x)=\frac 1{1+x^2}

a) Esboza las gráficas de f y g sobre los mismos ejes y calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.

b) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g.


Solución:

a) La primera función \displaystyle f(x)=\frac{|x|}2 la escribimos como una función a trozos:

\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac x2&\mbox{si}&x\geq0\\\frac{-x}2&\mbox{si}&x<0\end{array}\right.

f es una recta creciente para valores mayores que 0 y una recta decreciente para valores menores que 0. Ambas pasan por el punto (0,0). Observamos que f es una función par ya que

\displaystyle f(-x)=\frac {|-x|}2=\frac{|x|}2=f(x)

La segunda función \displaystyle g(x)=\frac 1{1+x^2} tiene por dominio \mathbb R por lo que no tiene asíntota vertical. Como todas las funciones racionales, es continua en todo su dominio. Como:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\frac 1{1+x^2}=0

entonces sí tiene asíntota horizontal que es el propio eje x. Tiene también simetría par ya que g(-x)=g(x). Corta al eje y en

\displaystyle y=\frac 1{1+0^2}=1

y no corta al eje x ya que

\displaystyle 0=\frac 1{1+x^2} no tiene solución, por lo que la función es siempre positiva. Por otra parte, en cuanto a la monotonía:

\displaystyle g'(x)=\frac{-2x}{(1+x^2)^2}=0

ecuación cuya solución es x=0 y es, por tanto, el único punto crítico.

\begin{array}{|c|c|c|}\hline &(-\infty,0)&(0,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }g'(x)&+&-\\\hline \mbox{Monotonia g(x)}&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

En x=0 observamos un máximo en g cuyo valor es g(0)=1.

Con todos estos datos podemos hacer un esbozo de ambas gráficas que debe quedar semejante a:

p138


b) El área S de la región limitada por ambas funciones es:

\displaystyle S=\int_a^b g(x)-f(x)~dx

pero como ambas funciones son pares dicho área lo podemos escribir como:

\displaystyle S=2\int_0^b g(x)-f(x)~dx

Solo tenemos que calcular el punto x=b donde f se corta con g. Para ello, igualamos las dos funciones y resolvemos:

\displaystyle \frac x2=\frac 1{1+x^2}\\\\(1+x^2)x=2\\\\x^3+x-2=0

ecuación cuya solución real es x=1. Por tanto, el área S vale:

\displaystyle S=2\int_0^1 \frac 1{1+x^2}-\frac x2~dx=2\left[\arctan(x)-\frac{x^2}4\right]_0^1=\\\\=2\left[\left(\arctan 1-\frac 14\right)-\left(\arctan0-\frac 04\right)\right]=\\\\=2\left[\frac \pi4-\frac 14\right]=\frac{\pi-1}2\mbox{ u.a.}

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