Problema 139

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

\left\{\begin{array}{l}x+2y-3z=3\\2x+3y+z=5\end{array}\right.

a) Calcula α de manera que al añadir una tercera ecuación de la forma \alpha x+y-7z=1 el sistema resultante tenga las mismas soluciones que el original.

b) Calcula las soluciones del sistema dado tales que la suma de los valores de las incógnitas sea 4.


Solución:

a) Si al añadir una nueva ecuación esta no afecta a las soluciones del sistema original, quiere decir que el rango tanto de las matrices de coeficientes y ampliada son iguales en ambos casos:

  • El rango de M=\begin{pmatrix}1&2&-3\\2&3&1\end{pmatrix} es 2 ya que \begin{vmatrix}1&2\\2&3\end{vmatrix}\neq0

Con la nueva ecuación, el rango de \begin{pmatrix}1&2&-3\\2&3&1\\\alpha&1&-7\end{pmatrix} también ha de ser 2, por tanto, el determinante de dicha matriz debe ser 0.

\begin{vmatrix}1&2&-3\\2&3&1\\\alpha&1&-7\end{vmatrix}=-21+2\alpha-6+9\alpha+28-1=11\alpha=0

El único candidato es α=0.

  • En cuanto a la matriz ampliada, la matriz ampliada en el sistema original tiene también rango 2. Veamos el rango de la matriz ampliada en el nuevo sistema y con el único candidato α=0:

\begin{vmatrix}1&2&3\\2&3&5\\0&1&1\end{vmatrix}=3+6-4-5=0

Luego, para α=0, el rango de la matriz ampliada del nuevo sistema coincide que el del sistema original.

Por tanto, ha de ser α=0.


b) Dado el sistema original queremos que además, las soluciones del sistema sumen 4. Esta condición se traduce en una nueva ecuación, por lo que el sistema a resolver es el siguiente:

\left\{\begin{array}{l}x+2y-3z=3\\2x+3y+z=5\\x+y+z=4\end{array}\right.

Calculemos el rango de la matriz de coeficientes de este sistema:

\begin{vmatrix}1&2&-3\\2&3&1\\1&1&1\end{vmatrix}=3+2-6+9-4-1=3\neq0

El rango de la matriz de coeficientes es 3, por tanto, el rango de la matriz ampliada también es 3 y, según el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible determinado.

Para resolver este sistema utilizamos la regla de Cramer:

\displaystyle x=\frac{\begin{vmatrix}3&2&-3\\5&3&1\\4&1&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&2&-3\\2&3&1\\1&1&1\end{vmatrix}}=\frac{9+8-15+36-10-3}3=\frac{25}3

\displaystyle y=\frac{\begin{vmatrix}1&3&-3\\2&5&1\\1&4&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&2&-3\\2&3&1\\1&1&1\end{vmatrix}}=\frac{5+3-24+15-6-4}3=\frac{-11}3

\displaystyle z=\frac{\begin{vmatrix}1&2&3\\2&3&5\\1&1&4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&2&-3\\2&3&1\\1&1&1\end{vmatrix}}=\frac{12+10+6-9-16-5}3=\frac{-2}3

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