Problema 140

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II

Considera la recta r que pasa por los puntos A(1,0,-1) y B(-1,1,0).

a) Halla la ecuación de la recta s paralela a r que pasa por C(-2,3,2).

b) Calcula la distancia de r a s.

Solución:

a) La recta r tiene por vector director \vec v_r=\overrightarrow{AB}=(-1,1,0)-(1,0,-1)=(-2,1,1), por tanto, la recta s es:

s\equiv (x,y,z)=(-2,3,2)+\lambda(-2,1,1)

b) La distancia entre dos rectas paralelas es igual a la distancia de un punto cualquiera de una de las rectas a la otra recta. Sabiendo que A∈r y que C∈s:

\displaystyle d(r,s)=d(A,s)=\frac{|\overrightarrow{CA}\times\vec v_r|}{|\vec v_r|}

\overrightarrow{CA}=(1,0,-1)-(-2,3,2)=(3,-3,-3)\\\\\overrightarrow{AC}\times\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\3&-3&-3\\-2&1&1\end{vmatrix}=3\vec\jmath-3\vec k\\\\|\overrightarrow{AC}\times\vec v_r|=\sqrt{0^3+3^2+(-3)^2}=\sqrt{18}\\\\|\vec v_r|=\sqrt{(-2)^2+1^2+1^2}=\sqrt6

Luego la distancia buscada es:

\displaystyle d(r,s)=\frac{\sqrt{18}}{\sqrt6}=\sqrt3\mbox{ u.l.}

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