Problema 141

Se desea construir un depósito en forma de cilindro recto, con base circular y sin tapadera, que tenga una capacidad de 125 m³. Halla el radio de la base y la altura que debe tener el depósito para que la superficie sea mínima.


Solución:

Nos piden las dimensiones (radio r y altura h) del cilindro sin tapadera de volumen 125 m³ que tenga la superficie mínima.

p73

Comenzamos definiendo la función a optimizar, en nuestro caso la superficie de un cilindro:

S(r,h)=\pi r^2+2\pi rh

Para obtener los puntos críticos hay que derivar la función, pero no podemos porque depende de dos variables. Hemos de aprovechar la restricción del volumen del cilindro:

\displaystyle V=\pi r^2h=125\\\\h=\frac{125}{\pi r^2}

Sustituyendo en la función superficie y simplificando:

\displaystyle S(r)=\pi r^2+2\pi r\frac{125}{\pi r^2}=\pi r^2+\frac{250}{r}

Calculamos los puntos críticos de esta función:

\displaystyle S'(r)=2\pi r-\frac{250}{r^2}=0\\\\2\pi r=\frac{250}{r^2}\\\\2\pi r^3=250\\\\r^3=\frac{250}{2\pi}\\\\r=\sqrt[3]{\frac{125}{\pi}}

Para comprobar que este punto crítico corresponde a un mínimo, utilizaremos el test de la derivada segunda:

\displaystyle S''(r)=2\pi +\frac{500r}{r^4}

Observamos que esta segunda derivada es positiva para cualquier valor de r>0, y en particular para \displaystyle r=\sqrt[3]{\frac{125}{\pi}}\approx 3.41 m. Por tanto, se trata de un mínimo para la superficie del cilindro.

Queda solo calcular la altura h del cilindro:

\displaystyle h=\frac{125}{\pi r^2}=\frac{125}{\pi \sqrt[3]{\frac{125}{\pi}}^2}=\frac{125\pi^{2/3}}{\pi 125^{2/3}}=\frac{125^{1/3}}{\pi^{1/3}}\\\\h=\sqrt[3]{\frac{125}{\pi}}\approx 3.41\mbox{ m}

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