Se desea construir un depósito en forma de cilindro recto, con base circular y sin tapadera, que tenga una capacidad de 125 m³. Halla el radio de la base y la altura que debe tener el depósito para que la superficie sea mínima.
Solución:
Nos piden las dimensiones (radio r y altura h) del cilindro sin tapadera de volumen 125 m³ que tenga la superficie mínima.
Comenzamos definiendo la función a optimizar, en nuestro caso la superficie de un cilindro:
Para obtener los puntos críticos hay que derivar la función, pero no podemos porque depende de dos variables. Hemos de aprovechar la restricción del volumen del cilindro:
Sustituyendo en la función superficie y simplificando:
Calculamos los puntos críticos de esta función:
![\displaystyle S'(r)=2\pi r-\frac{250}{r^2}=0\\\\2\pi r=\frac{250}{r^2}\\\\2\pi r^3=250\\\\r^3=\frac{250}{2\pi}\\\\r=\sqrt[3]{\frac{125}{\pi}}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+S%27%28r%29%3D2%5Cpi+r-%5Cfrac%7B250%7D%7Br%5E2%7D%3D0%5C%5C%5C%5C2%5Cpi+r%3D%5Cfrac%7B250%7D%7Br%5E2%7D%5C%5C%5C%5C2%5Cpi+r%5E3%3D250%5C%5C%5C%5Cr%5E3%3D%5Cfrac%7B250%7D%7B2%5Cpi%7D%5C%5C%5C%5Cr%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Cfrac%7B125%7D%7B%5Cpi%7D%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\displaystyle S'(r)=2\pi r-\frac{250}{r^2}=0\\\\2\pi r=\frac{250}{r^2}\\\\2\pi r^3=250\\\\r^3=\frac{250}{2\pi}\\\\r=\sqrt[3]{\frac{125}{\pi}}")
Para comprobar que este punto crítico corresponde a un mínimo, utilizaremos el test de la derivada segunda:
Observamos que esta segunda derivada es positiva para cualquier valor de r>0, y en particular para ![\displaystyle r=\sqrt[3]{\frac{125}{\pi}}\approx 3.41](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+r%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Cfrac%7B125%7D%7B%5Cpi%7D%7D%5Capprox+3.41&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\displaystyle r=\sqrt[3]{\frac{125}{\pi}}\approx 3.41")
Queda solo calcular la altura h del cilindro:
![\displaystyle h=\frac{125}{\pi r^2}=\frac{125}{\pi \sqrt[3]{\frac{125}{\pi}}^2}=\frac{125\pi^{2/3}}{\pi 125^{2/3}}=\frac{125^{1/3}}{\pi^{1/3}}\\\\h=\sqrt[3]{\frac{125}{\pi}}\approx 3.41\mbox{ m}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+h%3D%5Cfrac%7B125%7D%7B%5Cpi+r%5E2%7D%3D%5Cfrac%7B125%7D%7B%5Cpi+%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Cfrac%7B125%7D%7B%5Cpi%7D%7D%5E2%7D%3D%5Cfrac%7B125%5Cpi%5E%7B2%2F3%7D%7D%7B%5Cpi+125%5E%7B2%2F3%7D%7D%3D%5Cfrac%7B125%5E%7B1%2F3%7D%7D%7B%5Cpi%5E%7B1%2F3%7D%7D%5C%5C%5C%5Ch%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Cfrac%7B125%7D%7B%5Cpi%7D%7D%5Capprox+3.41%5Cmbox%7B+m%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\displaystyle h=\frac{125}{\pi r^2}=\frac{125}{\pi \sqrt[3]{\frac{125}{\pi}}^2}=\frac{125\pi^{2/3}}{\pi 125^{2/3}}=\frac{125^{1/3}}{\pi^{1/3}}\\\\h=\sqrt[3]{\frac{125}{\pi}}\approx 3.41\mbox{ m}")
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