Se desea construir un depósito en forma de cilindro recto, con base circular y sin tapadera, que tenga una capacidad de 125 m³. Halla el radio de la base y la altura que debe tener el depósito para que la superficie sea mínima.
Solución:
Nos piden las dimensiones (radio r y altura h) del cilindro sin tapadera de volumen 125 m³ que tenga la superficie mínima.
Comenzamos definiendo la función a optimizar, en nuestro caso la superficie de un cilindro:
Para obtener los puntos críticos hay que derivar la función, pero no podemos porque depende de dos variables. Hemos de aprovechar la restricción del volumen del cilindro:
Sustituyendo en la función superficie y simplificando:
Calculamos los puntos críticos de esta función:
Para comprobar que este punto crítico corresponde a un mínimo, utilizaremos el test de la derivada segunda:
Observamos que esta segunda derivada es positiva para cualquier valor de r>0, y en particular para m. Por tanto, se trata de un mínimo para la superficie del cilindro.
Queda solo calcular la altura h del cilindro:
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