Problema 142

Sea f la función definida por f(x)=x\ln(x+1) para x>-1 (ln denota el logaritmo neperiano). Determina la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (1,0).


Solución:

La integral de f la obtendremos por el método de integración por partes:

\begin{array}{lcl}u=\ln(x+1)&\longrightarrow&du=\frac{1}{x+1}~dx\\dv=x~dx&\longrightarrow&u=\frac{x^2}2\end{array}

Luego

\displaystyle \int x\ln(x+1)~dx=\frac{x^2}2\ln(x+1)-\int\frac{x^2}2\frac 1{x+1}~dx=\\\\=\frac{x^2}2\ln(x+1)-\frac 12\int\frac{x^2}{x+1}~dx

Esta última integral es racional. Comenzamos por descomponer la fracción en su forma cociente y resto:

\displaystyle \frac{x^2}{x+1}=x-1+\frac 1{x+1}

Por tanto,

\displaystyle \int\frac{x^2}{x+1}~dx=\int x-1~dx+\int\frac 1{x+1}~dx=\frac{x^2}2-x+\ln|x+1|+k_1

y sustituyendo en la integral original

\displaystyle \int x\ln(x+1)~dx=\frac{x^2}2\ln(x+1)-\frac 12\int\frac{x^2}{x+1}~dx=\\\\=\frac{x^2}2\ln(x+1)-\frac 12\left[\frac{x^2}2-x+\ln(x+1)+k_1\right]=\\\\=\frac{x^2}2\ln(x+1)-\frac{x^2}4+\frac x2-\frac{\ln(x+1)}2+k=\\\\=\frac{2x^2\ln(x+1)-x^2+2x-2\ln(x+1)}4+k=F(x)

Por otra parte, sabemos que la primitiva de f pasa por el punto (1,0), es decir, F(1)=0.

\displaystyle F(1)=\frac{2\cdot 1^2\ln(1+1)-1^2+2-2\ln(1+1)}4+k=\\\\=\frac{2\ln 2+1-2\ln 2}4+k=\frac 14+k=0

de donde k=-\frac 14. Luego la función primitiva es:

\displaystyle F(x)=\frac{2x^2\ln(x+1)-x^2+2x-2\ln(x+1)}4-\frac 14

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