Problema 142

Sea f la función definida por $f(x)=x\ln(x+1)$ para x>-1 (ln denota el logaritmo neperiano). Determina la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (1,0).

Solución:

La integral de f la obtendremos por el método de integración por partes:

$\begin{array}{lcl}u=\ln(x+1)&\longrightarrow&du=\frac{1}{x+1}~dx\\dv=x~dx&\longrightarrow&u=\frac{x^2}2\end{array}$

Luego

$\displaystyle \int x\ln(x+1)~dx=\frac{x^2}2\ln(x+1)-\int\frac{x^2}2\frac 1{x+1}~dx=\\\\=\frac{x^2}2\ln(x+1)-\frac 12\int\frac{x^2}{x+1}~dx$

Esta última integral es racional. Comenzamos por descomponer la fracción en su forma cociente y resto:

$\displaystyle \frac{x^2}{x+1}=x-1+\frac 1{x+1}$

Por tanto,

$\displaystyle \int\frac{x^2}{x+1}~dx=\int x-1~dx+\int\frac 1{x+1}~dx=\frac{x^2}2-x+\ln|x+1|+k_1$

y sustituyendo en la integral original

$\displaystyle \int x\ln(x+1)~dx=\frac{x^2}2\ln(x+1)-\frac 12\int\frac{x^2}{x+1}~dx=\\\\=\frac{x^2}2\ln(x+1)-\frac 12\left[\frac{x^2}2-x+\ln(x+1)+k_1\right]=\\\\=\frac{x^2}2\ln(x+1)-\frac{x^2}4+\frac x2-\frac{\ln(x+1)}2+k=\\\\=\frac{2x^2\ln(x+1)-x^2+2x-2\ln(x+1)}4+k=F(x)$