Problema 143

Algebra II, Matrices y determinantes II, Selectividad Mat II

Considera las matrices

A=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}\qquad\mbox y\qquad B=\begin{pmatrix}1&-1&1\\1&-1&0\\-1&2&3\end{pmatrix}

Determina, si existe, la matriz X que verifica AX+B=A².

Solución:

Primero despejamos la matriz X:

AX+B=A^2\\AX=A^2-B\\X=A^{-1}(A^2-B)

Para que exista la matriz X deberá existir la matriz inversa de A, y esto ocurrirá si el determinante de A es distinto de 0:

\begin{vmatrix}0&1&1\\1&0&0\\0&0&1\end{vmatrix}=-1

Entonces, existe la matriz X. Calculamos todos los elementos necesarios, en primer lugar para obtener la matriz inversa de A:

\displaystyle \boxed{A^{-1}=\frac 1{|A|}(\mbox{Adj}A)^t}

\mbox{Adj}A=\begin{pmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&1&-1\end{pmatrix}

\displaystyle A^{-1}=\frac 1{-1}\begin{pmatrix}0&-1&0\\-1&0&1\\0&0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&-1\\0&0&1\end{pmatrix}

Por otra parte:

A^2=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}

A^2-B=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&-1&1\\1&-1&0\\-1&2&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&2&1\\1&-2&-2\end{pmatrix}

Y por último:

X=A^{-1}(A^2-B)=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&-1\\0&0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&2&1\\1&-2&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&2&1\\-1&3&2\\1&-2&-2\end{pmatrix}

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