Problema 144

Sea r la recta definida por \left\{\begin{array}{l}x+2y-z=3\\2x-y+z=1\end{array}\right.

a) Determina la ecuación general del plano que contiene a r y pasa por el origen de coordenadas.

b) Halla las ecuaciones paramétricas del plano que corta perpendicularmente a r en el punto (1,1,0).


Solución:

a) Obtenemos las ecuaciones paramétricas de la recta haciendo el cambio z=λ:

\left\{\begin{array}{l}x+2y-z=3\\2x-y+z=1\end{array}\right.\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x+2y=3+\lambda\\2x-y=1-\lambda\end{array}\right.\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x+2y=3+\lambda\\4x-2y=2-2\lambda\end{array}\right.

Sumando las dos últimas ecuaciones se obtiene: 5x=5-\lambda de donde x=\frac{5-\lambda}5. Por último

\displaystyle 2x-y=1-\lambda\\\\y=2x-1+\lambda\\\\y=2\frac{5-\lambda}5-1+\lambda\\\\y=\frac{10-2\lambda-5+5\lambda}5\\\\y=\frac{3\lambda+5}5

Por tanto:

r\equiv\left\{\begin{array}{l}x=\frac{5-\lambda}5\\y=\frac{3\lambda+5}5\\z=\lambda\end{array}\right.

De donde un punto de la recta es P_r=(1,1,0) y el vector director es proporcional a (-1/5, 3/5,1) por ejemplo \vec v_r=(-1,3,5).

El plano que debemos construir debe pasar por O(0,0,0) y por P_r, por tanto, uno de sus vectores directores será \overrightarrow{OP_r}=(1,1,0).

La ecuación general del plano buscado es:

\begin{vmatrix}x&y&z\\1&1&0\\-1&3&5\end{vmatrix}=5x+3z+z-5y=5x-5y+4z\\\\\pi\equiv 5x-5y+4z=0


b) El plano buscado ahora es perpendicular a r y, por tanto, como vector normal del plano tomaremos el vector director de la recta:

\vec n_\pi=\vec v_r=(-1,3,5)

La ecuación del plano es -x+3y+5z+D=0. Ahora imponemos que dicho plano pase por el punto (1,1,0):

-(-1)+3\cdot 1+5\cdot 0+D=0\\\\1+3+D=0\\\\D=-4

Luego el plano buscado es:

-x+3y+5z-4=0

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