Problema 145

Sabiendo que \displaystyle \lim_{x\rightarrow0}\frac{\cos(3x)-e^x+ax}{x\,\mbox{sen}(x)} es finito, calcula a y el valor del límite.


Solución:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}\frac{\cos(3x)-e^x+ax}{x\,\mbox{sen}(x)}=\frac 00\mbox{ IND}

Esta indeterminación la resolvemos utilizando la regla de L’Hôpital:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}\frac{\cos(3x)-e^x+ax}{x\,\mbox{sen}(x)}\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{-3\,\mbox{sen}(3x)-e^x+a}{\mbox{sen}(x)+x\cos(x)}=\frac{-1+a}0

Para que el valor de este límite no sea infinito en principio, ha de ser -1+a=0, de donde a=1. Siendo este el valor de a, calculemos el valor del límite:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}\frac{-3\,\mbox{sen}(3x)-e^x+1}{\mbox{sen}(x)+x\cos(x)}=\frac 00\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{-9\cos(3x)-e^x}{\cos(x)+\cos(x)-x\,\mbox{sen}(x)}=\\\\=\frac{-9-1}{1+1-0}=\frac{-10}2=-5

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