Problema 146

Calcula \displaystyle\int_0^1\frac{x^2}{2x^2-2x-4}~dx.


Solución:

Esta es una integral racional.

\displaystyle\int_0^1\frac{x^2}{2x^2-2x-4}~dx=\frac 12\int_0^1\frac{x^2}{x^2-x-2}~dx

Comenzamos por escribir la fracción resultante en su forma de cociente y resto:

\displaystyle \frac{x^2}{x^2-x-2}=1+\frac{x+2}{x^2-x-2}

A su vez, en esta última fracción calculamos las raíces del denominador, resolviendo la ecuación x^2-x-2=0. Las raíces son x=-1 y x=2. Podemos escribir por tanto:

\displaystyle \frac{x+2}{x^2-x-2}=\frac A{x+1}+\frac B{x-2}=\frac{A(x-2)+B(x+1)}{(x+1)(x-2)}

Como los denominadores son iguales, también lo son los numeradores:

x+2=A(x-2)+B(x+1)

  • Si x=2\longrightarrow 4=3B\longrightarrow B=4/3
  • Si x=-1\longrightarrow 1=-3A\longrightarrow A=-1/3

Ya estamos en condiciones de calcular la integral:

\displaystyle\frac 12\int_0^1\frac{x^2}{x^2-x-2}~dx=\frac 12\int_0^11+\frac{x+2}{x^2-x-2}~dx=\\\\=\frac 12\left[\int_0^11~dx+\int_0^1\frac{x+2}{x^2-x-2}~dx\right]=\\\\=\frac 12\left[\int_0^11~dx+\int_0^1\frac{-1/3}{x+1}~dx+\int_0^1\frac{4/3}{x-2}~dx\right]=\\\\=\frac 12\left[x-\frac 13\ln|x+1|+\frac 43\ln|x-2|\right]_0^1=\\\\=\frac 12\left[\left(1-\frac 13\ln 2+\frac 43\ln 1\right)-\left(0-\frac 13\ln 1+\frac 43\ln 2\right)\right]=\\\\=\frac 12\left[1-\frac 53\ln 2\right]=\frac{3-5\ln 2}6

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