Considera el siguiente sistema de ecuaciones
a) Halla los valores del parámetro m para los que el sistema tiene una única solución.
b) Halla los valores del parámetro m para los que el sistema tiene alguna solución distinta de la solución nula.
c) Resuelve el sistema para m=-2.
Solución:
Para discutir sistemas de ecuaciones lineales utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Según este, en los sistemas homogéneos el rango de la matriz de coeficientes y el de la matriz ampliada es el mismo, y por tanto, el sistema siempre será compatible.
a) Nos piden hallar m para que el sistema sea compatible determinado, por tanto el rango de la matriz de coeficientes ha de ser 3, o lo que es lo mismo, su determinante distinto de 0:
Ecuación cuyas soluciones son m=0 y m=-2. Por tanto, para que el sistema tenga una única solución debe ser m≠0 y m≠-2.
b) Para que un sistema homogéneo tenga soluciones diferentes a la solución trivial, el sistema ha de ser compatible indeterminado. Para que esto ocurra la matriz de coeficientes ha de tener rango menor de 3, o lo que es lo mismo, que su determinante sea 0.
En el apartado anterior el determinante resultaba 0 para los valores m=0 y m=-2. Para estos dos valores el sistema es compatible indeterminado y tendrá soluciones distintas a la trivial.
c) En el caso m=-2 la matriz de coeficientes es
Matriz cuyo rango es 2 ya que
El sistema origina con este valor de m sería:
Observamos que la primera ecuación es combinación lineal de las otras 2 y por tanto, prescindible.
Para resolver el sistema hacemos el cambio x=λ:
Calculamos las otras dos variables utilizando la regla de Cramer:
La solución del sistema para el caso m=-2 es:
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