Problema 147

Considera el siguiente sistema de ecuaciones

\left\{\begin{array}{ccc}x-y+mz&=&0\\mx+2y+z&=&0\\-x+y+2mz&=&0\end{array}\right.

a) Halla los valores del parámetro m para los que el sistema tiene una única solución.

b) Halla los valores del parámetro m para los que el sistema tiene alguna solución distinta de la solución nula.

c) Resuelve el sistema para m=-2.


Solución:

Para discutir sistemas de ecuaciones lineales utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Según este, en los sistemas homogéneos el rango de la matriz de coeficientes y el de la matriz ampliada es el mismo, y por tanto, el sistema siempre será compatible.

a) Nos piden hallar m para que el sistema sea compatible determinado, por tanto el rango de la matriz de coeficientes ha de ser 3, o lo que es lo mismo, su determinante distinto de 0:

\begin{vmatrix}1&-1&m\\m&2&1\\-1&1&2m\end{vmatrix}=4m+1+m^2+2m+2m^2-1=3m^2+6m=0\\\\3m(m+2)=0

Ecuación cuyas soluciones son m=0 y m=-2. Por tanto, para que el sistema tenga una única solución debe ser m≠0 y m≠-2.


b) Para que un sistema homogéneo tenga soluciones diferentes a la solución trivial, el sistema ha de ser compatible indeterminado. Para que esto ocurra la matriz de coeficientes ha de tener rango menor de 3, o lo que es lo mismo, que su determinante sea 0.

En el apartado anterior el determinante resultaba 0 para los valores m=0 y m=-2. Para estos dos valores el sistema es compatible indeterminado y tendrá soluciones distintas a la trivial.


c) En el caso m=-2 la matriz de coeficientes es

M=\begin{pmatrix}1&-1&-2\\-2&2&1\\-1&1&-4\end{pmatrix}

Matriz cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}2&1\\1&-4\end{vmatrix}=-8-1=-9\neq0

El sistema origina con este valor de m sería:

\left\{\begin{array}{ccc}-2x+2y+z&=&0\\-x+y-4z&=&0\end{array}\right.

Observamos que la primera ecuación es combinación lineal de las otras 2 y por tanto, prescindible.

Para resolver el sistema hacemos el cambio x=λ:

\left\{\begin{array}{ccc}2y+z&=&2\lambda\\y-4z&=&\lambda\end{array}\right.

Calculamos las otras dos variables utilizando la regla de Cramer:

\displaystyle y=\frac{\begin{vmatrix}2\lambda&1\\\lambda&-4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&1\\1&-4\end{vmatrix}}=\frac{-8\lambda-\lambda}{-9}=\lambda

\displaystyle z=\frac{\begin{vmatrix}2&2\lambda\\1&\lambda\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}2&1\\1&-4\end{vmatrix}}=\frac{2\lambda-2\lambda}{-9}=0

La solución del sistema para el caso m=-2 es: (x,y,z)=(\lambda,\lambda,0)

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