Problema 148

Considera los puntos A(1,1,2) y B(1,-1,-2) y la recta r dada por \left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\y=t\\z=1\end{array}\right.

a) Halla la ecuación general del plano que contiene a r y es paralelo a la recta que pasa por A y por B.

b) Halla el punto de la recta r que está a la misma distancia de A y de B.


Solución:

a) Por ser el plano paralelo a la recta que pasa por A y B, utilizaremos como vector director el vector \overrightarrow{AB}=(1,-1,-2)-(1,1,2)=(0,-2,-4), o uno proporcional como (0,1,2).

Por contener a la recta r, el plano tendrá un vector director proporcional al vector director de r, \vec v_r=(2,1,0) y pasará por un punto cualquier de r, por ejemplo, P_r=(1,0,1).

Con todos estos datos ya podemos obtener la ecuación general del plano buscado:

\begin{vmatrix}x-1&y&z-1\\0&1&2\\2&1&0\end{vmatrix}=4y-2(z-1)-2(x-1)=-2x+4y-2z+4=0

Simplificando:

\pi\equiv -x+2y-z+2=0


b) El lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos puntos dados es el plano mediatriz. Dicho plano α contiene al punto medio entre A y B que llamaremos M. Además es perpendicular al vector formado por A y B, es decir, perpendicular a \overrightarrow{AB}=(0,-2,-4)

Calculamos M:

\displaystyle M=\frac{A+B}2=\frac{(1,-1,-2)+(1,1,2)}2=\frac{(2,0,0)}2=(1,0,0)

Y el vector normal del plano es \vec n_\alpha=\overrightarrow{AB}=(0,-2,-4)

Luego el plano mediatriz por ser perpendicular a \overrightarrow{AB} se escribirá en la forma:

-2y-4z+D=0

Imponemos que pase por M:

-2\cdot 0-4\cdot 0+D=0\longrightarrow D=0

Luego el plano mediatriz es \alpha\equiv -2x-4y=0 o simplificando el resultado: \alpha\equiv y+2z=0

Cualquier punto del plano α equidista de A y B, en particular P=α∩r, que será el punto de la recta r que equidista de A y B.

Para calcular el punto donde se encuentran la recta y el plano, sustituimos las paramétricas de la recta en la implícita del plano:

\alpha\equiv y+2z=0\\\\r\equiv\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\y=t\\z=1\end{array}\right.

t+2\cdot 1=0\\\\t=-2

Sustituyendo este valor de t en r obtenemos el punto P=(-3,-2,1).

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