Problema 149

De entre todos los números reales positivos, determina el que sumado con su inverso da suma mínima.


Solución:

Nos piden un número real x>0 que con su inverso 1/x dan una suma mínima.

Definimos dicha función suma:

\displaystyle S(x)=x+\frac 1x

Para optimizar dicha función, la derivamos:

\displaystyle S'(x)=1-\frac 1{x^2}

calculamos sus puntos críticos:

\displaystyle 1-\frac 1{x^2}=0\\\\1=\frac 1{x^2}\\\\x^2=1\\\\x=\pm 1

Descartamos el valor negativo puesto que x ha de ser mayor que 0, luego el valor buscado es x=1.

Por último, demostramos que efectivamente se trata de un mínimo. Para ello aplicaremos el test de la segunda derivada:

\displaystyle S''(x)=\frac{2x}{x^4}

Esta derivada es positiva para x=1, por tanto, se trata de un mínimo para la suma.

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