Problema 151

Sabiendo que el determinante de la matriz $A=\begin{pmatrix}x&y&z\\1&0&1\\1&2&3\end{pmatrix}$ es 2, calcula los siguientes determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilices:

a) $|3A|$

b) $|A^{-1}|$

c) $\begin{vmatrix}3&0&1\\3x&2y&z\\3&4&3\end{vmatrix}$

d) $\begin{vmatrix}1&2&3\\x+2&y+4&z+6\\-1&0&-1\end{vmatrix}$

Solución:

Utilizaremos para resolver todas las preguntas las propiedades de los determinantes:

$\mbox{a) }|3A|\overset{P.6}=3^3|A|=27\cdot 2=54$

$\displaystyle \mbox{b) }|A^{-1}|\overset{P.4}=\frac 1{|A|}=\frac 12$

$\displaystyle \mbox{c) }\begin{vmatrix}3&0&1\\3x&2y&z\\3&4&3\end{vmatrix}\overset{P.6}=3\begin{vmatrix}1&0&1\\x&2y&z\\1&4&3\end{vmatrix}\overset{P.6}=3\cdot 2\begin{vmatrix}1&0&1\\x&y&z\\1&2&3\end{vmatrix}=\\\\\overset{P.5}=-6\begin{vmatrix}x&y&z\\1&0&1\\1&2&3\end{vmatrix}=-6\cdot 2=-12$

$\displaystyle \mbox{d) }\begin{vmatrix}1&2&3\\x+2&y+4&z+6\\-1&0&-1\end{vmatrix}\overset{P.7}=\begin{vmatrix}1&2&3\\x&y&z\\-1&0&-1\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1&2&3\\2&4&6\\-1&0&-1\end{vmatrix}=\\\\\overset{P.1}=\begin{vmatrix}1&2&3\\x&y&z\\-1&0&-1\end{vmatrix}+0\overset{P.5}=-\begin{vmatrix}x&y&z\\1&2&3\\-1&0&-1\end{vmatrix}\overset{P.5}=\begin{vmatrix}x&y&z\\-1&0&-1\\1&2&3\end{vmatrix}=\\\\\overset{P.6}=-\begin{vmatrix}x&y&z\\1&0&1\\1&2&3\end{vmatrix}=-2$

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Problema 151

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