Problema 152

Sea r la recta que pasa por los puntos A(1,0,-1) y B(2,-1,3).

a) Calcula la distancia del origen de coordenadas a la recta r.

b) Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a r y pasa por el origen de coordenadas.


Solución:

a) La recta r pasa por el punto A(1,0,-1) y tiene por vector director a \vec v_r=\overrightarrow{AB}=(2,-1,3)-(1,0,-1)=(1,-1,4).

La distancia desde O(0,0,0) hasta la recta r es:

\displaystyle d(O,r)=\frac{|\overrightarrow{OA}\times\vec v_r|}{|\vec v_r|}

\overrightarrow{OA}=(1,0,-1)-(0,0,0)=(1,0,-1)

\overrightarrow{OA}\times\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&0&-1\\1&-1&4\end{vmatrix}=-\vec\imath-5\vec\jmath-\vec k=(-1,-5,-1)

|\overrightarrow{OA}\times\vec v_r|=\sqrt{(-1)^2+(-5)^2+(-1)^2}=\sqrt{27}=3\sqrt 3

|\vec v_r|=\sqrt{1^2+(-1)^2+4^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}

Luego:

\displaystyle d(O,r)=\frac{3\sqrt 3}{3\sqrt 2}=\sqrt{\frac 32}\mbox{ u.l.}


b) Hay al menos un par de formas de resolver este apartado. Nosotros vamos calcular un punto P de r que forme con O el vector \overrightarrow{OP}. Por último, obligaremos a que este vector sea perpendicular a \vec v_r. Con el punto O y con dicho vector \overrightarrow{OP} ya podemos construir la recta s pedida.

Escribimos la recta r en forma paramétrica:

r\equiv\left\{\begin{array}{l}x=1+\lambda\\y=-\lambda\\z=-1+4\lambda\end{array}\right.

Por pertenecer a la recta r, el punto P tiene las siguientes coordenadas:

P=(1+\lambda,-\lambda,-1+4\lambda)

Calculamos el vector \overrightarrow{OP}=(1+\lambda,-\lambda,-1+4\lambda)-(0,0,0)=(1+\lambda,-\lambda,-1+4\lambda)

Que \overrightarrow{OP}\bot\vec v_r implica que:

\overrightarrow{OP}\cdot\vec v_r=0\\\\(1+\lambda,-\lambda,-1+4\lambda)\cdot(1,-1,4)=1+\lambda+\lambda+4(-1+4\lambda)=0\\\\18\lambda-3=0\\\\\lambda=1/6

Sustituyendo este valor de λ obtenemos las componentes de \overrightarrow{OP}:

\overrightarrow{OP}=(7/6,-1/6,-2/6)

Como vector director para nuestra recta s podemos tomar directamente el vector \overrightarrow{OP}=(7/6,-1/6,-2/6) o bien uno proporcional, por ejemplo, \vec v_s=(7,-1,-2)

La recta s buscada es:

s\equiv(x,y,z)=(0,0,0)+\mu(7,-1,-2)

en forma vectorial.

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